Основна теорема на интегралното смятане

Едно от приложенията на теоремата на Лагранж (за крайните нараствания) от реалния анализ, е, да установим, че ако производната на една реална функция е тъждествено нула в интервал, то функцията е константа в този интервал. Тази теорема се нарича основна теорема на интегралното смятане, тъй като тя свежда задачата за намиране на всички примитивни на една непрекъсната функция в даден интервал до намирането на само една примитивна (напомняме, че примитивна на една функция в даден интервал се нарича диференцируема функция, чиято производна съвпада с дадената функция в този интервал). В тази тема ще се убедим, че основната теорема на интегралното смятане е в сила и за комплексни диференцируеми функции, дефинирани върху област.

Теорема. Нека $D\subseteq\mathbb{C}$ е област и $f:D\to\mathbb{C}$ е комплексно диференцируема (холоморфна) функция в $D$ и за всяко $z\in D$ е изпълнено $f'(z)=0$. Тогава съществува $c\in\mathbb{C}$, такова че $f(z)=c$, за всяко $z\in D$.

Доказателство. Нека $f=u+iv$, където $u,v$ са реалната и имагинерната част на $f$. Ще покажем, че $u,v$ са постоянни в $D$. Тъй като $f’=0$, от условията на Коши-Риман имаме, че $u_x=v_y=0$ и $u_y=-v_x=0$ в $D$. Така виждаме, че е достатъчно да покажем, че ако частните производни на една реална функция са тъждествено нула в някоя област, то тя е константа в тази област. Това е следствие от теоремата за крайните нараствания за функция на две променливи. Ще докажем това само за функцията $u$, тъй като разглежданията за $v$ са идентични. Нека $z_0=x_0+iy_0\in D$ и $r>0$ е такова, че $K(z_0,r)\subseteq D$ и $h=p+iq\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ е такова че $z_0+h\in K(z_0,r)$, т. е. $0<|h|<r$. Тогава функцията $\varphi:[0,1]\to\mathbb{R}$ дефинирана с $\varphi(t)=u(z_0+th)$ е непрекъсната в $[0,1]$ и диференцируема в $(0,1)$. От теоремата за крайните нараствания съществува $\theta\in(0,1)$, такова, че $\varphi(1)-\varphi(0)=\varphi'(\theta)$. Последното равенсво се записва във вида $u(z_0+h)-u(z_0)=u_x(z_0+\theta h)p+u_y(z_0+h)q$ предвид теоремата за диференциране на съставна функция. Тъй като $\varphi’\sum_{j=1}^nu_x(z_0+\theta h)$множествата $I_{x_0}=\{y\in\mathbb{R}|x_0+iy\in K(z_0,r)\}$ и $I_{y_0}=\{x\in\mathbb{R}|x+iy_0\in K(z_0,r)\}$ са интервали, и функциите $g:I_{y_0}\to\mathbb{R}$, $h:I_{x_0}\to\mathbb{R}$ дефинирани съответно с $g(x)=u(x+iy_0)$ и $h(y)=u(x_0+iy)$ са диференцируеми и $g'(x)=u_x(x+iy_0)=0$, $h'(y)=u_y(x_0+iy)=0$. От основната теорема на интегралното смятане за реални функции имаме, че съществуват числа $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$, такива че $g(x)=\alpha$ за всяко $x\in I_{y_0}$ и $h(y)=\beta$ за всяко $y\in I_{x_0}$. Тъй като $x_0\in I_{y_0}$ и $y_0\in I_{x_0}$, виждаме че $\alpha=g(x_0)=u(x_0+iy_0)=h(y_0)=\beta$. Геометрично това означава, че за всяка точка $z_0\in D$, функцията $u$ е постоянна върху частите от двете прави през $z_0$, паралелни на координатните оси, разположени в кръга $K(z_0,r)$ (оттук между другото можем да видим, че функцията $u$ е постоянна върху всяка начупена линия в $D$, образувана от отсечки, паралелни на координантните оси). Сега ще се убедим, че $u$ е постоянна в $K(z_0,r)$. Наистина, ако $z_1=x_1+iy_1\in K(z_0,r)$, и $L=[z_0,z_0+iy_1]\cup[z_0+iy_1,z_0+z_1]$, то $L\subset K(z_0,r)$ и $u(z)=\alpha$ за всички $z\in L$ (Проверете!). Следователно $u(z_0)=u(z_0+z_1)=\alpha$ за всяко $z_1\in K(z_0,r)$, което показва, че $u$ е локално постоянна функция. Тъй като функцията $f$ е диференцируема в $D$, тя е непрекъсната в тази области в частност $u$ е непрекъсната в $D$. Следователно $u$ е непрекъсната локално постоянна функция в област, откъдето следва, че тя е глобално постоянна (вж. 10. на тази тема), т. е $u(z)=\alpha$ за всяко $z\in D$. По същият начин се убеждаваме същестува $\beta\in\mathbb{R}$, такова че $v(z)=\beta$ за всяко $z\in D$. Следователно $f(z)=u(z)+iv(z)=\alpha+i\beta$ за всяко $z\in D$.

Забележка. Ако производната на една функция е тъждествено нула в отворено множество на $\mathbb{C}$, то тя не е длъжна да бъде константа. Например за функцията $f:\mathbb{C}\setminus C(0,1)\to\mathbb{C}$ дефинирана с $f(z)=0$ за $|z|<1$ и $f(z)=1$ за $|z|>1$ имаме $f'(z)=0$ за всяко $z\in\mathbb{C}\setminus C(0,1)$, но $f$ не е константа в това множество. Ще отбележим, че тъй като свързаните компоненти на всяко отворено множество в $\mathbb{C}$ са области, ако производната на една функция е тъждествено нула в отворено множество на $\mathbb{C}$, то функцията е константа (изобщо казано различна) във всяка свързана компонента на множеството.

Упражнения

  1. Покажете, че реалната и имагинерната част на всяка непрекъсната функция в дадена точка са непрекъснати в точката.
  2. Покажете, че ако частните производни на една реалнозначна функция са непрекъснати в дадена точка, то функцията е диференцируема в тази точка. Упътване. Приложете теоремата на Лагранж към частните производни на функцията и използвайте непрекъснатостта.

назад