Определение и основни свойства на аналитичните функции

Нека $D\subseteq\mathbb{F}$ е отворено множество и $f:D\to\mathbb{F}$ е дадена функция. Казваме, че $f$ е аналитична функция в $D$, ако за всяко $a\in D$ съществува $\delta(a)>0$ и степенен ред $\sum_{k=0}^{\infty}a_k(z-b)^k$, сходящ поне в $B_{\delta(a)}(a)$, така че $f(z)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(z-b)^k$. С други думи, $f$ е аналитична в $D$, ако всяка точка от $D$ има околност, в която стойностите на $f$ съвпадат със сумата на някой сходящ степенен ред. В този случай казваме още, че $f$ се развива в (или че се представя във вид на) степенен ред около всяка точка на $D$. От свойствата на степенните редове получаваме следните свойства на аналитичните функции:

  • всяка аналитична функция в $D$ има производни от всеки ред, които са аналитични в $D$,
  • сума и прозиведение на аналитични функции в $D$ е аналитична функция в $D$.
  • ако $f$ е аналитична в $D$, то $\frac{1}{f}$ е аналитична в $D\setminus\{z\in D|f(z)=0\}$
  • ако $f$ е аналитична в $D$ и $g$ е аналитична в $G$, като $f(D)\subseteq G$, то $g\circ f$ е аналитична в $D$, т. е. композиция на аналитични функции е аналитична.

Напомняме, че има функции на реална променлива, които имат производни от произволен ред, но не са аналитични, например $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, зададена с $$f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^2}}, x\neq 0 \\ 0, x=0\end{cases}.$$ В следващите теми ще видим, че за функции на комплексна променлива, от съществуването на производна следва аналитичност.

Упражнения

  1. Покажете, че $f(z)=z^{-1}$ е аналитична в $\mathbb{C}\setminus\{0\}$.
  2. Покажете, че функцията $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, зададена с $$f(x)=\begin{cases}e^{-x^{-2}}, x\neq 0 \\ 0, x=0\end{cases}$$ има производни от прозиволен ред, но не е аналитична в $\mathbb{R}$.
    Упътване. Напишете реда на Тейлор на $f$ около $0$ и забележете, че $f$ не се анулира тъждествено в никоя околност на $0$.

назад