Нули на аналитичните функции

Нека $f$ е поне $k$ кратно гладка функция в околност точката $a\in\mathbb{F}$. Казваме, че $a$ е нула от кратност $k$ (от краен ред $k$) на $f$, ако $f(a)=f'(a)=\ldots=f^{(k-1)}(a)=0$ и $f^{(k)}(a)\neq 0$. Ако $k=1$, казваме, че $a$ е проста нула на $f$. Ако $f$ е безкрайно гладка и $f^{(k)}(a)=0$, за всяко $k\in\{0\}\cup\mathbb{N}$, то казваме, че $a$ е нула на $f$ от безкраен ред. Тъй като аналитичните функции са безкрайно гладки, за тях е приложимо същото определение за нула от краен или безкраен ред. Да забележим обаче, че ако една аналитична в област функция има нула от безкраен ред, то тя е тъждествено нула (това следва от теоремата за единственост, тъй като сумата на реда на Тейлор на функцията се анулира тъждествено в околност на тази нула). Това обаче не е вярно за функции, които не са аналитични. Например за функцията $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, дефинирана с $f(x)=e^{-x^{-2}}$, при $x\neq 0$, и $f(0)=0$, точката $0$ е нула от безкраен ред и очевидно $f$ не е тъждествено нула. И тъй, ако една аналитична функция не е тъждествено нула, то множеството от точки, в които тя се анулира няма точки на сгъстяване. С други думи, всички нули на функцията са изолирани, т. е. всяка нула има пробита околност, в която няма други нули на функцията. Това също не е вярно за функции, които не са аналитични. Например функцията $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ дефинирана с $f(x)=x^2\sin x^{-1}$, при $x\neq 0$, и $f(0)=0$, не е тъждествено нула, точката $0$ е нула на функцията, и не е изолирана за множеството от нули, тъй като около нея се сгъстяват други нули на функцията.

Следващата теорема показва, какво е локалното представяне на аналитичните функции около техните нули.

Теорема. Нека $f$ е аналитична функция в областта $D\subset\mathbb{F}$, която не е тъждествено нула в околност на точката $a\in D$. Тогава следните условия са еквивалентни: 1) $a$ е $k$ кратна нула на $f$, 2) съществува $\delta>0$ и аналитична функция $g$ в $B(a,\delta)$, такива че $f(z)=(z-a)^kg(z)$ при $z\in B(a,\delta)$ и $g(a)\neq 0$.

Доказателство. Нека $a$ е $k$ кратна нула на $f$. Тогава съществува число $\delta>0$, такова че $$f(z)=\sum_{j=k}^{\infty}\frac{f^{(j)}(a)}{j!}(z-a)^j=(z-a)^k\sum_{j=0}^{\infty}\frac{f^{(k+j)}(a)}{(k+j)!}(z-a)^j,\quad z\in B(a,\delta).$$ Дефинираме $g(z)=
\sum_{j=0}^{\infty}\frac{f^{(k+j)}(a)}{(k+j)!}(z-a)^j$ за $z\in B(a,\delta)$. Очевидно $g$ е аналитична в $B(a,\delta)$, $g(a)=\frac{f^{(k)}(a)}{k!}\neq 0$ и $f(z)=(z-a)^kg(z)$ при $z\in B(a,\delta)$. Обратно, диференцирайки $k$ пъти съотношението $f(z)=(z-a)^kg(z)$ в точката $a$ и отчитайки, че $g(a)\neq 0$, получаваме, че $f(a)=f'(a)=\ldots=f^{(k-1)}(a)=0$, и $f^{(k)}(a)\neq 0$, т. е. $a$ е $k$ кратна нула на $f$.

Забележка. Горната теорема показва, че по отношение на нулите, аналитичните функции имат свойства аналогични с тези на полиномите. От алгебрата знаем, че ако $a$ е $k$-кратен корен на един полином, то този полином се дели на $(z-a)^k$, т. е. полиномът се представя като произведение на $(z-a)^k$ и друг полином. Както ще видим по-нататък, когато става въпрос за корените на полиномите, е наложително последните да се разглеждат като аналитични, вместо като алгебрични обекти.

Упражнения

  1. Определете кратността на нулите на функцията $f$, ако а) $f(z)=(z^2+1)^2$, б) $f(z)=z\sin z$, в) $f(z)=2e^z-z^2-2z-2$, г) $f(z)=z^2-z^2\cos z$.

назад