Критерий за аналитичност на безкрайно гладка функция

Както вече знаем, за всяка функция, която има производни от произволен ред в даден интервал (безкрайно гладка функция) можем да напишем реда на Тейлор, във всяка точка от този интервал. Редът на Тейлор, както всеки степенен ред, може да бъде сходящ навсякъде, да бъде сходящ в една точка, или да бъде сходящ в някой интервал. Лесно можем да дадем примери на функции, чиито ред на Тейлор в дадена точка е сходящ навсякъде или в някой интервал. Като пример на безкрайно гладка функция, чиито ред на Тейлор в дадена точка е сходящ само в тази точка, можем да дадем функцията $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin(2^kx)}{k!}$, $x\in\mathbb{R}$. Нейният ред на Тейлор около точката $0$ е сходящ само в тази точка. От друга страна, ако редът на Тейлор на една безкрайно гладка функция е сходящ в интервал, то сумата му може да не съвпада с функцията в този интервал. Например редът на Тейлор в точката $0$ за функцията $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, дефинирана с $f(x)=e^{-x^{-2}}$, при $x\neq 0$ и $f(0)=0$, има нулеви коефициенти и следователно той е сходящ навсякъде, и сумата му е тъждествено нула. От друга страна, функцията $f$ не е тъждествено нула в никоя околност на $0$. Това показва, че сумата на редът на Тейлор на $f$ в точката $0$ не съвпада с $f$ в никоя околност на $0$. Оттук следва, че $f$ не e аналитична. Наистина в предната тема видяхме, че сумата на всеки степенен ред е аналитична функция и че степенният ред, чрез който се представя неговата сума, около произволна точка от кръга на сходимост, е редът на Тейлор на сумата. Това показва, че ако една функция е аналитична, то степенният ред, чиято сума съвпада с функцията, в околност на фиксирана точка от дефиниционното множество, е редът на Тейлор на функцията в тази точка. Тъй като $f$ не съвпада с реда си на Тейлор в точката $0$, виждаме, че тя не е аналитична, т. е. съществуват безкрайно гладки функции, които не са аналитични. Целта в настоящата тема е да видим при какви условия една безкрайно гладка функция е аналитична.

Теорема. Нека $D\subseteq\mathbb{R}$ е интервал и $f:D\to\mathbb{R}$ безкрайно гладка функция в $D$. Функцията $f$ аналитична, тогава и само тогава, когато за всяко $a\in D$ съществуват реални положителни числа $\delta, M, t$, такива че за всички $k\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ и $x\in(a-\delta,a+\delta)$ е изпълнено $\left|\frac{f^{(k)}(x)}{k!}\right|\leq Mt^k$. С други думи, всяка точка от $D$ има $\delta$ околност, в която модулът на $k$-тия коефициент в реда на Тейлор на $f$, не надминава $Mt^k$ за някои $M, t$.

Доказателство. Нека $f$ е аналитична в $D$, тогава за всяко $a\in D$ съществува $\delta>0$, такова че $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ при $x\in(a-\delta,a+\delta)$. Също така, за всяко $b\in(a-\delta,a+\delta)$ имаме $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(b)}{k!}(x-b)^k$, при $|x-b|<\delta-|b-a|$. Следователно, ако $|x-b|=r<\delta-|b-a|$ и $S(r)=\sum_{k=0}^{\infty}\left|\frac{f^{(k)}(b)}{k!}\right|r^k$ (напомняме, че всеки степенен ред е абсолютно сходящ в областта си на сходимост), то $$\left|\frac{f^{(k)}(b)}{k!}\right|r^k=\left|\frac{f^{(k)}(b)}{k!}(x-b)^k\right|\leq\sum_{k=0}^{\infty}\left|\frac{f^{(k)}(b)}{k!}(x-a)^k\right|=\sum_{k=0}^{\infty}\left|\frac{f^{(k)}(b)}{k!}\right|r^k=S(r),$$ което показва, че за всички $k\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ и $b\in(a-\delta,a+\delta)$ имаме $\left|\frac{f^{(k)}(b)}{k!}\right|\leq\frac{S(r)}{r^k}$. Дефинирайки $M=S(r)$ и $t=\frac{1}{r}$ получаваме, че за всяко $a\in D$ съществуват реални положителни числа $\delta, M, t$, такива че за всички $k\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ и $x\in(a-\delta,a+\delta)$ е изпълнено $\left|\frac{f^{(k)}(x)}{k!}\right|\leq Mt^k$.

Обратно, нека за всяко $a\in D$ съществуват реални положителни числа $\delta,M, t$, такива че за всички $k\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ и $x\in(a-\delta,a+\delta)$ е изпълнено $\left|\frac{f^{(k)}(x)}{k!}\right|\leq Mt^k$. Тогава за всяко $a\in D$ и всяко $x\in(a-\delta,a+\delta)$, от формулата на Тейлор имаме $f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k=\frac{f^{(n+1)}(a+\theta(x-a))}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ за някое $\theta\in(0,1)$. Тъй като $a+\theta(x-a)\in(a-\delta,a+\delta)$ виждаме, че $\left|\frac{f^{(n+1)}(a+\theta(x-a))}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \right|\leq Mt^{n+1}\delta^{n+1}$. Оттук виждаме, че ако $|x-a|<p=\min\{\delta,\frac{1}{2t}\}$, то $
\left|f(x)-\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\right|\leq M\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\to 0$, при $n\to\infty$, което показва, че $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ при $x\in(a-p,a+p)$, т. е. $f$ е аналитична функция.

Упражнения

  1. Дайте пример на функция, чийто ред на Тейлор е сходящ навсякъде/в кръг/в интервал.
  2. Покажете, че функцията $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin(2^kx)}{k!}$, $x\in\mathbb{R}$ има производни от произволен ред в $\mathbb{R}$ и ги пресметнете. Напишете редът на Тейлор на функцията $f$ в точката $0$ и го изследвайте за сходимост.
  3. Покажете, че сумата на реда на Тейлор в точката $0$ на функцията $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, дефинирана с $f(x)=e^{-x^{-2}}$, при $x\neq 0$ и $f(0)=0$ е тъждествено нула.

назад