Комплексен логаритъм и комплексни степени

В настоящата тема ще дефинираме логаритъм от произволно ненулево комплексно число, както и степен с комплексен показател и основа.

Комплексен логаритъм

Вече установихме, че изображението $\exp:\mathbb{C}\ni z\mapsto \sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{k!}\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ е сюрективен хомоморфизъм на групи с ядро $\ker\exp=2\pi i\mathbb{Z}$. От теоремата за хомоморфизмите имаме, че $\text{im}\exp\simeq\mathbb{C}/\ker\exp$. Тъй като $\text{im}\exp=\mathbb{C}\setminus\{0\}$, виждаме, че фактор-групата $\mathbb{C}/2\pi i\mathbb{Z}$ е изоморфна на групата $\mathbb{C}\setminus\{0\}$.
Комплексният логаритъм се определя именно като хомоморфизмът $$\log:\mathbb{C}\setminus\{0\}\to\mathbb{C}/2\pi i\mathbb{Z},$$ за който $$\log(z)=\exp^{-1}(z)=\ln|z|+i\arg z+2\pi i\mathbb{Z},\quad -\pi<\arg z\leq \pi.$$

Упражнения

  1. Пресметнете $\log (-1)$, $\log (-1+i)$, $\log(\sin(i))$, $\log(ie^{2i})$, $\log(e^{1+i})$.
  2. Проверете непосредствено, че $\log$ е хомоморфизъм на групи, т. е. $$\log z^{-1}=-\log z, \quad \log(zw)=\log z+\log w, \quad z, w\in\mathbb{C}\setminus\{0\}.$$
  3. Проверете, че $\exp\log=\text{id }$ и $\log\exp=p\circ\text{id }$, където $p:\mathbb{C}\to \mathbb{C}/2\pi i\mathbb{Z}$ е каноничното изображение.

Комплексни степени

Нека $\alpha\in\mathbb{C}$, тогава умножението с $\alpha$ индуцира хомоморфизъм на групи $\mathbb{C}/2\pi i\mathbb{Z}\to\mathbb{C}/2\pi i\alpha\mathbb{Z}$. Лесно се проверява, че $\exp(2\pi i\alpha\mathbb{Z})\subset\mathbb{C}\setminus\{0\}$ е комутативна подгрупа на $\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Тогава $\exp$ индуцира хомоморфизъм на групи $\mathbb{C}/2\pi i\alpha\mathbb{Z}\to(\mathbb{C}\setminus\{0\})/\exp(2\pi i\alpha\mathbb{Z})$. Следователно композицията на хомоморфизми $\exp(\alpha\log)$ определя хомоморфизъм на групи $\mathbb{C}\setminus\{0\}\to(\mathbb{C}\setminus\{0\})/\exp(2\pi i\alpha\mathbb{Z})$. За всяко $z \in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ можем да дефинираме $z^{\alpha}=\exp(\alpha\log z)$. От определението получаваме, че за всички $z,w\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ имаме $(z.w)^{\alpha}=z^{\alpha}.w^{\alpha}$. За разлика от реалния случай, комплексните степени нямат обичайните свойства. Например за да проверим дали $z^{\alpha+\beta}$ съвпада с $z^{\alpha}.z^{\beta}$, или дали $(z^{\alpha})^{\beta}$ съвпада с $z^{\alpha\beta}$ трябва преди всичко да се изсясни смисълът на изразите $z^{\alpha}.z^{\beta}$ и $(z^{\alpha})^{\beta}$. Тъй като $(\mathbb{C}\setminus\{0\})/\exp(2\pi i\alpha\mathbb{Z})$ и $(\mathbb{C}\setminus\{0\})/\exp(2\pi i\beta\mathbb{Z})$ са комутативни подгрупи на групата $(\mathbb{C}\setminus\{0\})/\exp(2\pi i(\alpha\mathbb{Z}+\beta\mathbb{Z}))$, произведението $z^{\alpha}.z^{\beta}$ има смисъл и представлява елемент на групата $(\mathbb{C}\setminus\{0\})/\exp(2\pi i(\alpha\mathbb{Z}+\beta\mathbb{Z}))$. От друга страна $z^{\alpha+\beta}\in(\mathbb{C}\setminus\{0\})/\exp(2\pi i(\alpha+\beta)\mathbb{Z})$, което показва, че $z^{\alpha+\beta}\neq z^{\alpha}.z^{\beta}$. Лесно може да се види, че на практика $z^{\alpha+\beta}\subseteq z^{\alpha}.z^{\beta}$. По отношение на израза $(z^{\alpha})^{\beta}$, той дори няма смисъл в контекста на определението за комплексна степен (освен в случая когато $\alpha\in\mathbb{Z}$), тъй като в общия случай $z^{\alpha}$ не е комплексно число, а елемент на $(\mathbb{C}\setminus\{0\})/\exp(2\pi i\alpha\mathbb{Z})$. Бихме могли да дефинираме $(z^{\alpha})^{\beta}$ като множеството $\exp(\beta\log z^{\alpha})$, където $\log z^{\alpha}=\{\log w|w\in z^{\alpha}\}\subset\mathbb{C}/2\pi i\mathbb{Z}$, но тогава дори няма да е в сила естественото равенство $(z^{\alpha})^{\beta}=(z^{\beta})^{\alpha}$.

Упражнения

  1. Пресметнете $i^{\sqrt{2}}$, $(1+i)^{2-3i}$, $1^{2+4i}$, $(1+i\sqrt{3})^{e^{2i}}$, $\sin(i)^{\cos (i)}$, $\pi^e$, $(\cos\pi)^{e^{\pi i}}$, $(-1)^{\frac{1}{2}}$, $(-27)^{\frac{1}{3}}$, $1^e$.
  2. Проверете, че ако $\alpha\in\mathbb{C}$, то изображението $p_{\alpha}:\mathbb{C}/2\pi i\mathbb{Z}\to\mathbb{C}/2\pi i\alpha\mathbb{Z}$ дефинирано с $p_{\alpha}(z+2\pi i\mathbb{Z})=\alpha z+2\pi i\alpha\mathbb{Z}$ е хомоморфизъм на групи, който е изоморфизъм при $\alpha\neq 0$.
  3. Проверете, че за всяко $\alpha\in\mathbb{C}$ множеството $\exp(2\pi i\alpha\mathbb{Z})$ е комутативна подгрупа на $\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Какви подгрупи се получават при $\alpha\in\mathbb{Z}$ и $\alpha\in\mathbb{Q}$?
  4. Проверете, че при $\alpha\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Q}$ групата $\exp(2\pi i\alpha\mathbb{Z})$ е безкрайна.
  5. Проверете, че изображението  $E:\mathbb{C}/2\pi i\alpha\mathbb{Z}\to(\mathbb{C}\setminus\{0\})/\exp(2\pi i\alpha\mathbb{Z})$ дефинирано с $E(z+2\pi i\alpha\mathbb{Z})=\exp z.\exp(2\pi i\alpha\mathbb{Z})$ е хомоморфизъм на групи.
  6. Проверете, че $(\mathbb{C}\setminus\{0\})/\exp(2\pi i\alpha\mathbb{Z})$ и $(\mathbb{C}\setminus\{0\})/\exp(2\pi i\beta\mathbb{Z})$ са комутативни подгрупи на групата $(\mathbb{C}\setminus\{0\})/\exp(2\pi i(\alpha\mathbb{Z}+\beta\mathbb{Z}))$.
  7. Проверете, че за всички $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ и $\alpha,\beta\in\mathbb{C}$ имаме $z^{\alpha+\beta}\subseteq z^{\alpha}.z^{\beta}$.
  8. Покажете, че ако $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, $\alpha,\beta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ и дефинираме $(z^{\alpha})^{\beta}$ като множеството $\exp(\beta\log z^{\alpha})$, където $\log z^{\alpha}=\{\log w|w\in z^{\alpha}\}\subset\mathbb{C}/2\pi i\mathbb{Z}$, то $(z^{\alpha})^{\beta}\neq(z^{\beta})^{\alpha}$.

назад