Интегриране на диференциални форми

В тази тема ще напомним интегрирането на диференциални форми по криви в равнината (така наречените криволинейни интеграли), което е обобщение на едномерното интегриране на една функция в интервал. Чрез такова интегриране получаваме възможност да дефинираме интеграл от функция на комплексна променлива по крива в област на равнината. При това свойствата на този интеграл се получават директно от свойствата на криволинейните интеграли. Да напомним съответните понятия от реалния анализ на функции на няколко променливи.

Диференциални форми

Нека $D\subseteq\mathbb{R}^2$ е отворено множество, $x$ и $y$ са координатните функции върху $D$, т. е. $x,y$ са дефинирани с $x(a,b)=a$ и $y(a,b)=b$ за всичкии $(a,b)\in D$. Нека $P, Q$ са две комплекснозначни функции, дефинирани върху $D$. Диференциална 1-форма (с коефициенти $P, Q$) върху $D$ наричаме линейната комбинация на диференциалите $dx$ и $dy$ на координатните фунции, с коефициенти $P, Q$, т. е. израз от вида $Pdx+Qdy$. Диференциалната форма $Pdx+Qdy$ наричаме непрекъсната, диференцируема, непрекъснато диференцируема и т. н. в $D$, ако коефициентите $P,Q$ имат съответните свойства в $D$. Това което отличава диференциалната 1-форма от обикновена двойка функции е начинът по който тя се преобразува, когато преобразуваме координантите функции. Aко преобразуваме координатните функции, т. е. те станат функции на други координатни функции (с друга дефиниционна област) т. е. $x=\varphi(u,v)$, $y=\psi(u,v)$, то обикновената двойка функции $(P(x,y),Q(x,y))$ се преобразува в двойката функции
$(P(\varphi, \psi),Q(\varphi, \psi))$, докато $Pdx+Qdy$ се преобразува в $P(\varphi, \psi) (\varphi_udu+\varphi_vdv)+Q(\varphi, \psi)(\psi_udu+\psi_vdv)=(P(\varphi, \psi)\varphi_u+Q(\varphi, \psi)\psi_u)du+(P(\varphi, \psi)\varphi_v+Q(\varphi, \psi)\psi_v)dv$, т. е. двойката функции $(P,Q)$, разглеждана като коефициенти на диференциална форма, се преобразува в двойката $(P(\varphi, \psi)\varphi_u+Q (\varphi, \psi)\psi_u,P(\varphi, \psi)\varphi_v+Q(\varphi, \psi)\psi_v)$. Нека $D\subseteq\mathbb{C}$ е отворено множество, $z$ е координатната функция в $D$, т. е. $z(a)=a$ за всяко $a\in D$ и $x, y$ са реалната и имагинерната част на $z$, т. е. $z=x+iy$, където $x(a)=\text{re }a$ и $y(a)=\text{im }a$ за всяко $a\in D$. Тогава $dz=dx+idy$ и ако $f:D\to\mathbb{C}$ е дадена функция, то тя определя диференциална форма $f(z)dz=f(x+iy)dx+if(x+iy)dy$. От друга страна, не всяка диференциална форма в $D$ определя функция, тъй като ако $Pdx+Qdy$, е дадена форма в $D$, то $2dx=dz+d\overline{z}$ и $2idy=dz-id\overline{z}$ и следователно $Pdx+Qdy=P\frac{1}{2}(dz+d\overline{z} )+Q\frac{1}{2i}(dz-d\overline{z} )=\frac{1}{2}(P-iQ)dz+\frac{1}{2}(P+iQ)d\overline{z}$, т. е. изобщо формата се записва като линейна комбинация на $dz$ и $d\overline{z}$ (а не само на $dz$).

Интегриране по криви

Да напомним как се дефинира интеграл от непрекъсната в област $D$ диференциална 1-форма по крива $L\subset D$, Нека $L$ е гладка крива с параметризация $\gamma:[a,b]\to D$, т.е .$L=\gamma([a,b])$, където $\gamma(t)=(\varphi(t),\psi(t))$ и $\varphi,\psi$ са непрекъснато диференцируеми функции в отворен интервал, съдържащ $[a,b]$. По определение $\int_LPdx+Qdy=\int_a^bP(\varphi(t),\psi(t))d\varphi(t)+Q(\varphi(t),\psi(t))d\psi(t)=\int_a^b
[P(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)+Q(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t))]dt$. Да отбележим, че подинтегралната функция е комплекснозначна функция, дефинирана в компактен интервал. За такива функци понятието определен интеграл се дефинира непросредствено: $\int_a^b(u(x)+iv(x))dx=\int_a^bu(x)dx+i\int_a^bv(x)dx$ и всички свойства на определения интеграл от реалнозначни функции, които не зависят от наредбата в $\mathbb{R}$ (като например линейност и адитивност се пренасят) без изменение и за този тип интеграли. Ако $L$ е частично гладка, т. е. съществува разделяне $\{\{t_j\}_{j=0}^{n}\subset[a,b]|a=t_0<\ldots<t_n=b, n\in\mathbb{N}\}$ на $[a,b]$, за което $\gamma|_{[t_{j-1},t_j]}$ е гладка и $L_j=\gamma([t_{j-1},t_j])$ ($j\in\{1,\ldots, n\}$), то по определение $\int_LPdx+Qdy=\sum_{j=1}^n\int_{L_j}Pdx+Qdy$. Напомняме, че това определение е коректно, в смисъл, че ако $L$ се параметризира с две еквивалентни параметризации, (т. е. едната параметризация се получава от другата чрез комозиция със строго растяща функция), то стойността на интеграла не се променя. От друга страна, интегралът зависи от ориентацията на кривата $L$, тъй като ако избраната параметризация $\gamma:[a,b]\to D$ на $L$ композираме с $[a,b]\ni t\mapsto a+b-t\in[a,b]$) ще получим, че интеграла си сменя знака. Напомняме, че интегрирането на диференциални форми по крива има свойстватата линейност (т. е. интеграл от линейна комбинация на диференциални форми е линейна комбинация от интегралите на формите) и адитивност по кривата $L$ (т. е. ако $L$ се представи като обединение на дъги, то интегралът от формата е сума от интеграли върху отделните дъги). Тези свойства произтичат от определението и съответните свойства на определения интеграл. Напомняме, че една диференциална форма $Pdx+Qdy$ се нарича точна в областта $D\subset\mathbb{R}^2$, ако съществува диференцируема функция $F:D\to\mathbb{C}$, такава че $dF=Pdx+Qdy$, (т. е. $F_x=P$ и $F_y=Q$ в $D$). Функцията $F$ с това свойство се нарича примитивна на $Pdx+Qdy$ в областта $D$. Всеки две примитивни на една точна форма в област се отличават с константа (това следва от факта, че ако частните производни на една функция са тъждествено нула в област, то функцията е константа в тази област). Казваме, че формата $Pdx+Qdy$ е локално точна в отвореното множество $D$, ако всяка точка от $D$ има околност, в която формата е точна. Казваме, че формата $Pdx+Qdy$ е затворена в $D$, ако е непрекъснато-диференцируема в $D$ и $P_y=Q_x$ в $D$. Да забележим, че всяка непрекъснато диференцируема форма, която е точна в $D$ е затворена (това следва от теоремата за равенство на смесените производни на непрекъснато диференцируема функция).

Основни теореми

Теорема 1. Непрекъснатата диференциалната форма $Pdx+Qdy$ е точна в областта $D\subseteq\mathbb{R}^2$, тогава и само тогава, когато $\int_LPdx+Qdy=0$ за всяка затворена частично гладка крива $L\subset D$.
Доказателство. Нека $Pdx+Qdy$ точна в $D$ и $F$ е нейна примитивна, т. е. $dF=Pdx+Qdy$ в $D$. Нека $L$ е произволна частично гладка затворена крива с параметризация $\gamma:[a,b]\to D$ и $a=t_0<t_1<\ldots<t_n=b$ е разделяне, за което $\gamma|_{[t_{k-1},t_k]}$ e гладка. Тогава
$L=\cup_{k=1}^nL_k$, където $L_k=\gamma([t_{k-1},t_k])$ и $\int_LPdx+Qdy=\int_LdF=\sum_{k=1}^n\int_{L_k}dF=\int_{t_{k-1}}^{t_k}(F\circ\gamma)'(t)dt=\sum_{k=1}^n\left(F(\gamma(t_k))-F(\gamma(t_{k-1})\right)=F(\gamma(b))-F(\gamma(a))=0$, тъй като $\gamma(a)=\gamma(b)$. Обратно, нека за всяка затворена частично гладка крива $L$ е изпълнено $\int_LPdx+Qdy=0$ и $(a,b)\in D$. Тогава в $D$ можем да дефинираме функция по следния начин: на $(x,y)\in D$ съпоставяме стойността на $\int_LPdx+Qdy$, където $L$ е прозиволна частично гладка крива с начало $(a,b)$ и край $(x,y)\in D$. Трябва да се убедим, че това е коректно дефинирана функция, т. е. стойността на интеграла не зависи от това коя крива с начало $(a,b)$ и край $(x,y)$ сме избрали. Нека $L_1$ и $L_2$ са две такива криви. Тогава кривата $L_3=L_1\cup L_2^-$ е затворена и следователно $\int_{L_3}Pdx+Qdy=0$. От друга страна $\int_{L_3}Pdx+Qdy=\int_{L_1}Pdx+Qdy-\int_{L_2}Pdx+Qdy=0$, което показва, че $\int_{L_1}Pdx+Qdy=\int_{L_2}Pdx+Qdy$, т. е. имаме функция $F:D\to\mathbb{C}$, дефинирана с $F(x,y)=\int_LPdx+Qdy$, където $L$ е прозиволна частично гладка крива с начало $(a,b)$ и край $(x,y)\in D$. Остава да се покаже, че $F$ е примитивна на $Pdx+Qdy$ в $D$. За целта е достатъчно да покажем, че $F_x=P$ и $F_y=Q$ в $D$. Ще покажем само първото равенство, тъй като второто се доказва аналогично. За всяка точка $(p,q)\in D$ и достатъчно малко $h\in\mathbb{R}$ дефинираме $L_2=L\cup L_1$, където $L_1$ е отсечката с начало $(p,q)$ и край $(p+h,q)$. Тогава $F(p+h,q)-F(p,q)=\int_{L_2}Pdx+Qdy-\int_LPdx+Qdy=\int_{L_1}Pdx+Qdy=\int_p^{p+h}P(t,q)dt$. Следователно $F_x(p,q)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{F(p+h,q)-F(p,q)}{h}= \lim\limits_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_p^{p+h}P(t,q)dt=P(p,q)$, предвид непрекъснатостта на $P$ и теоремата Нютон-Лайбниц за диференциране на интеграла по горната граница.

Теорема 2. Диференциалната форма $Pdx+Qdy$ е локално точна в отвореното множество $D\subseteq\mathbb{R}^2$, тогава и само тогава, когато за всяка точка $(a,b)\in D$ съществува $\delta>0$, такова че за всички $h,k\in\mathbb{R}$, за които $K=[\min\{a,a+h\},\max\{a,a+h\}]\times[\min\{b,b+k\},\max\{b,b+k\}]\subset B((a,b),\delta)$ е изпълнено $\int_{\partial K}Pdx+Qdy=0$.
Доказателство. Нека $Pdx+Qdy$ е локално точна в $D$. Тогава за всяка точка $(a,b)\in D$ съществува $\delta>0$, такова че $Pdx+Qdy$ е точна в $B((a,b),\delta)$ и следователно $\int_LPdx+Qdy=0$ за всяка затворена, частично гладка крива в $B((a,b),\delta)$. Тъй като за всички $\sqrt{h^2+k^2}<\delta$ е изпълнено $K=[\min\{a,a+h\},\max\{a,a+h\}]\times[\min\{b,b+k\},\max\{b,b+k\}]\subset B((a,b),\delta)$ и кривата $\partial K\subset B((a,b),\delta)$ е затворена и частично гладка виждаме, че $\int_{\partial K}Pdx+Qdy=0$. Обратно, нека $(a,b)\in D$ и $\delta>0$ е такова че $B((a,b),\delta)\subset D$ за всички $h,k\in\mathbb{R}$, за които $K=[\min\{a,a+h\},\max\{a,a+h\}]\times[\min\{b,b+k\},\max\{b,b+k\}]\subset B((a,b),\delta)$ е изпълнено $\int_{\partial K}Pdx+Qdy=0$. Тъй като за всички $(x,y)\in B((a,b),\delta)$ съществуват $h,k$ такива че $x=a+h, y=b+k$ и $K=[\min\{a,x\},\max\{a,x\}]\times[\min\{b,y\},\max\{b,y\}]\subset B((a,b),\delta)$ имаме $\int_{\partial K}Pdx+Qdy=0$. Следователно, както в предната теорема виждаме, че е коректно дефинирана функция $F:B((a,b),\delta)\to\mathbb{C}$, за която $F(x,y)=\int_LPdx+Qdy$, където $L$ е коя да е от начупените линии с начало $(a,b)$, през $(x,b)$ или $(a,y)$, и край $(x,y)$. Тогава от една страна $F(x,y)=\int_a^xP(t,b)dt+\int_b^yQ(x,t)dt$ (ако $L$ е начупената линия с начало $(a,b)$, през $(x,b)$ и край $(x,y)$), а от друга страна $F(x,y)=\int_b^yQ(a,t)dt+\int_a^xP(t,y)dt$
(ако $L$ е начупената линия с начало $(a,b)$, през $(a,y)$ и край $(x,y)$). От последните две съотношения и теоремата на Лайбниц-Нютон (за диференциране на интеграла по горната граница) получаваме, че $F_x(x,y)=P(x,y)$ и $F_y(x,y)=Q(x,y)$, което показва, че $dF=Pdx+Qdy$ в $B((a,b),\delta)$, т. е. $Pdx+Qdy$ е локално точна.

Теорема 3. (на Грийн-Гаус за правоъгълник) Нека $Pdx+Qdy$ е непрекъснато-диференцируема в отворено множество $D\subset\mathbb{R}^2$, $K=[a,b]\times[c,d]\subset D$ и $\partial K$ е положително ориентирана (т. е. $\partial K$ се параметризира така, че при изменение на параметръра, точките от $\partial K$ се описват в посока обратна на движението на часовниковата стрелка). Тогава $\int\int_K(Q_x-P_y)dxdy=\int_{\partial K}Pdx+Qdy.$
Доказателство. Непосредствено пресмятане на интегралите.

Теорема 4. Една непрекъснато-диференцируема диференциална форма е локално точна в отворено множество, тогава и само тогава, когато тя е затворена в него.
Доказателство. Нека $Pdx+Qdy$ е затворена в отворено множество $D\subseteq\mathbb{R}^2$. Тогава $Q_x-P_y=0$ в $D$ и от Теорема 3 получаваме, че $\int_{\partial K}Pdx+Qdy=0$ за всеки правоъгълник $K=[a,b]\times[c,d]\subset D$. Тъй като за всяка точка $(a,b)\in D$ съществува $\delta>0$, такова че $B((a,b),\delta)\subseteq D$ и за всички $h,k\in\mathbb{R}$, за които $K=[\min\{a,a+h\},\max\{a,a+h\}]\times[\min\{b,b+k\},\max\{b,b+k\}]\subset B((a,b),\delta)$ имаме $\int_{\partial K}Pdx+Qdy=0$, от Теорема 2 получаваме, че $Pdx+Qdy$ е локално точна в $D$. Обратно, ако $Pdx+Qdy$ е локално точна в $D$, то всяка точка от $D$ има околност $U$, в която $Pdx+Qdy$ е точна, и следователно от Теорема 1 имаме $\int_{\partial K}Pdx+Qdy=0$ за всеки правоъгълник $K=[a,b]\times[c,d]\subseteq U$. Oт Теорема 3 получаваме, че $\int\int_K(Q_x-P_y)dxdy=0$. Тъй като подинтегралната функция в последния интеграл е непрекъсната в $D$, получаваме, че $Q_x-P_y=0$ в $K$ (иначе интегралът не може да е нула). Следователно $Q_x-P_y$ е локално постоянна (нулева) непрекъсната функция, във всяка свързана компонента на $D$. Следователно $Q_x-P_y=0$ в $D$, т. е. $Pdx+Qdy$ е затворена в $D$ (вж. 10 на тази тема).

Упражнения

  1. При какви условия за комплекснозначните функции $P, Q$, дефинирани в отворено множество на $\mathbb{R}^2$, диференциалната форма $Pdx+Qdy$ задава функция на комплексната променлива $z=x+iy$?
  2. Нека $f$ е диференцируема функция в отворено множество $D\subseteq\mathbb{R}^2$ и $x,y$ са координатните функции в $D$, като $z=x+iy$. Запишете диференциала на $f$ като линейна комбинация на $dz$ и $d\overline{z}$.
  3. Нека $f$ е комплекснозначна реално диференцируема функция в отворено множество $D\subseteq\mathbb{C}$ и $z$ е координатната функция в $D$. При какво условие за $f$, диференциалът $df$ е линейна комбинация на $dz$?
  4. Докажете основните свойства на определения интеграл от комплекснозначна функция в компактен интервал.
  5. Докажете основните свойства на кровилинейните интеграли споменати в първия параграф.
  6. Покажете, че всяка локално точна, непрекъснато-диференцируема в отворено множество диференциална форма е затворена.
  7. Покажете, че формата $\frac{dz}{z}$ е локално точна в областта $D=\mathbb{C}\setminus\{0\}$, и не е точна в $D$. Доказателство. Тъй като $$\frac{dz}{z}=\frac{dx+idy}{x+iy}=\frac{(x-iy)(dx+idy)}{x^2+y^2}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}dx+\frac{y+ix}{x^2+y^2}dy,$$ виждаме, че коефициентите $P(x,y)=\frac{x-iy}{x^2+y^2}$ и $Q(x,y)= \frac{y+ix}{x^2+y^2}$ имат непрекъснати частни производни в $D$ (понеже са рационални функции на две променливи). Тъй като $P_y(x,y)=\frac{-i}{x^2+y^2}-\frac{2y(x-iy)}{(x^2+y^2)^2}$ и $Q_x(x,y)=\frac{i}{x^2+y^2}-\frac{2x(y+ix)}{(x^2+y^2)^2}$, виждаме, че $Q_x-P_y=\frac{2i}{x^2+y^2}+\frac{-2xy-2ix^2+2yx-2iy^2}{(x^2+y^2)^2}=\frac{2i}{x^2+y^2}-\frac{2i(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}=0$. Следователно формата $\frac{dz}{z} $ е затворена в $D$ и от Теорема 4 получаваме, че тя е локално точна в $D$. Формата $\frac{dz}{z}$ не е точна в $D$, тъй като ако $L=\gamma([-\pi,\pi])$, където $\gamma(t)=e^{it}$, то $\int_{L} \frac{dz}{z}=2\pi i\neq 0$, което е противоречие с Теорема 1. Забележка. Можем да се убедим че $\frac{dz}{z}$ е локално точна форма като проверим, че за всяка точка $a\in D$ съществува нейна околност и примитивна на формата в тази околност. Лесно се проверява, че ако $\text{re }a\neq 0$, то функцията $F(z)=\frac{1}{2}\ln |z|+i\text{arctg}\frac{\text{im }z}{\text{re }z}$ е примитивна на $\frac{dz}{z}$ в лявата или дясната полуравнина в зависимост от това дали $\text{re }a<0$ или $\text{re }a>0$ съответно. По същия начин, ако $\text{im }a\neq 0$, то $G(z)=\frac{1}{2}\ln |z|+i\text{arctg}\frac{\text{re }z}{\text{im }z}$ е примитивна на $\frac{dz}{z}$ в горната или долната полуравнина, в зависимост от това дали $\text{im }a>0$ или $\text{im }a<0$ съответно. Още един начин да видим че $\frac{dz}{z}$ е локално точна, е, като отчетем факта, че за всяка точка $a\in D$, в кръгът $K(a,|a|)$ съществува непрекъснат клон на комплекнсия логаритъм, и че всеки такъв клон е холоморфна функция, чиято производна е функцията $\frac{1}{z}$.
  8. Нека $a\in\mathbb{C}$ и $D=\mathbb{C}\setminus\{a\}$. Определете стойностите на $n\in\mathbb{Z}$ при които формата $(z-a)^ndz$ е: a) локално точна в $D$, б) точна в $D$. Посочете съответните примитивни.
  9. Докажете Теорема 3.

назад