Интеграл от функция на комплексна променлива

В настоящата тема ще дефинираме интеграл от функция на комплексна променлива, чрез криволинейни интеграли.

Нека $f$ е непрекъсната функция в областта $D\subseteq\mathbb{C}$ и $L$ е частично гладка крива в $D$. Интеграл от функцията $f$, по кривата $L$, се дефинира като криволинейния интеграл върху $L$ от диференциалната форма $f(z)dz=f(x+iy)dx+if(x+iy)dy$, т. е. по определение $$\int_{L}f(z)dz=\int_{L}f(x+iy)dx+if(x+iy)dy. $$ Тогава всички свойства на криволинейните интеграли се пренасят върху интегралите от функции на комплексна променлива. Например, независимост на интеграла от параметризацията на кривата, (когато за еквивалентни се считат само параметризациите определящи една и съща ориентация), смяна на знака на интеграла при смяна на ориентацията на кривата $L$, адитивност по кривата, т. е. ако кривата се представи като обединение на дъги, то интегралът върху кривата е сума от интегралите върху отделните дъги, линейност на интеграла и т. н.

Твърдение. Нека $f$ е непрекъсната функция в областта $D\subseteq\mathbb{C}$ и $L$ е гладка крива в $D$, с параметризация $\gamma:[a,b]\to D$. Тогава $\int_L f(z)dz=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)dt$.
Доказателство. Нека $\gamma(t)=\alpha(t)+i\beta(t)$, $t\in[a,b]$. Тогава $\gamma'(t)=\alpha'(t)+i\beta'(t)$ за всяко $t\in[a,b]$ и $\int_Lf(z)dz=\int_Lf(x+iy)dx+if(x+iy)dy=\int_a^b[f(\gamma(t))\alpha'(t)+if(\gamma(t))\beta'(t)]dt=\int_a^bf(\gamma(t))(\alpha'(t)+i\beta'(t))dt=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)dt$.

Основна оценка

Знаем, че модулът на интеграла от реалнозначна интегруема функция в компактен интервал, не надминава интеграла на модула на функцията. Сега ще се убедим, че същото твърдение е вярно и за комплексно-значни функции, т. е ако $f:[a,b]\to\mathbb{C}$ е интегруема функция, то $\left|\int_a^bf(x)dx\right|\leq\int_a^b|f(x)|dx$. Наистина, ако $I=\int_a^bf(x)dx$ и $I=0$, то твърдението е тривиално. Ако $I\neq 0$, то $I=|I|e^{i\text{Arg }I}$ и следователно $|I|=I e^{-i\text{Arg }I}=\text{re }(I e^{-i\text{Arg }I})=\text{re }\left[\left(\int_a^bf(x)dx\right)e^{-i\text{Arg }I}\right]=\text{re }\int_a^bf(x)e^{-i\text{Arg }I}dx=\int_a^b\text{re }[f(x)e^{-i\text{Arg }I}]dx\leq\int_a^b|f(x)e^{-i\text{Arg }I}|dx=\int_a^b|f(x)|dx$, с което твърдението е доказано. Да отбележим, че $|f|$ е интегруема, тъй като тя е композиция на непрекъсната от интегруема функция. Оттук получаваме следната основна оценка за модула на интеграл от функция на комплексна променлива: модулът на интеграла се мажорира от криволинейния интеграл от първи род върху кривата от модула на функцията. По-точно, ако кривата $L$ се определя от параметризация $\gamma:[a,b]\to D$ и $\gamma(t)=x(t)+iy(t)$ за $t\in[a,b]$, то $$\left|\int_{L}f(z)dz\right|=\left|\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)dt\right|\leq\int_a^b|f(\gamma(t))||\gamma'(t)|dt=$$$$=\int_a^b|f(x(t)+iy(t))|\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt=\int_{L}|f(x+iy)|ds.$$ Последният интеграл означаваме с $\int_{L}|f(z)||dz|$, при което получаваме основната оценка $$\left|\int_{L}f(z)dz\right|\leq\int_{L}|f(z)||dz|.$$

Примитивна на функция на комплексна променлива

Примитивна на функцията $f$ в областта $D\subseteq\mathbb{C}$ се нарича примитивна на диференциалната форма $f(z)dz$, т. е. непрекъснато-диференцируема функция $F:D\to\mathbb{C}$, такава че $dF=f(z)dz$ в $D$. От това определение следва, че функцията $F$ e холоморфна и $F’=f$ в $D$. Наистина от една страна $dF=F_xdx+F_ydy=\frac{1}{2}(F_x-iF_y)dz+\frac{1}{2}(F_x+iF_y)d\overline{z}$, а от друга страна $dF=f(z)dz$. Следователно $F_x+iF_y=0$ и $\frac{1}{2}(F_x-iF_y)=F_x=F’=f$ в $D$. Оттук и Теорема 1 на предната тема виждаме, че условието $f$ да има примитивна в $D$ е еквивалентно на това интегралът от функцията по крива, свързваща две произволни точки от областта $D$, да не зависи от кривата. Еквивалентно – интегралът от функцията по всяка затворена частично гладка крива в $D$ да бъде нула. Иначе казано, $f$ има примитивна в $D$, тогава и само тогава, когато $f(z)dz$ е точна форма в $D$.

Забележка. От Теорема 1 получаваме, че ако диференциалът на една непрекъснато-диференцируема функция в област е тъждествено нула, то функцията е константа в тази област. В частност, това е вярно за всяка холомофна функция, която има производна нула в областта. Това ни дава още едно доказателство на основната теорема на интегралното смятане.

Упражнения

  1. Пресметнете интеграла $\int_L(y-x-3x^2i)dz$, където а) $L$ е отсечката $[0,1+i]$ с начало $0$ и край $1+i$, б) $L$ е начупената линия $[0,i]\cup[i,1+i]$.
  2. Пресметнете интегралите: a) $\int_L z\text{ re}(z^2)dz$, където $L$ е отсечката $[0,1+i]$, б) $\int_L(1+i-2\overline{z})dz$, където $L$ е дъгата от кривата с уравнение $y=x^2$, с начало $0$ и край $1+i$, в) $\int_L\text{re}(\sin z)\cos zdz$, където $L$ е отсечката $[\frac{\pi}{4}-i,\frac{\pi}{4}+i]$, г) $\int_Lz\sin zdz$, където $L$ горната половина на единичната окръжност с начало $-1$ и край $1$, д) $\int_L\log zdz$, където $L$ е кривата с уравнение $x^2+(y-3)^2=1$, описана веднъж, в посока обратна на движението на часовниковата стрелка, е) $\int_L(z+1)e^zdz$, където $L=\gamma([0,\pi])$, $\gamma(t)=2e^{it}$, $t\in\mathbb{R}$.
  3. Пресметнете интеграла $\int_L(z-a)^ndz$ където $L\gamma([-\pi,\pi])$ и $\gamma(t)=Re^{it}$, $t\in\mathbb{R}$.
  4. Покажете, че ако $F$ е непрекъснато-диференцируема $\mathbb{F}$-значана функция в областта $D\subset\mathbb{R}^2$ и $dF=0$ в $D$, то съществува $c\in\mathbb{F}$, такова че $F(x,y)=c$ за всички $(x,y)\in D$. Упътване. От една страна интегралът на $dF$ по произволна частично гладка крива между две произволни точки от областта е тъждествено нула, а от друга страна този интеграл е разликата между стойностите на $F$ в крайната и началната точка на кривата.
  5. Нека $f$ е непрекъсната функция в областта $D=\{z\in\mathbb{C}|0\leq t_1\leq\text{arg } z\leq t_2\leq\pi\}$ и $L_r=\{re^{it}|t_1\leq t\leq t_2\}$. Тогава, ако $f(z)\to 0$ при $|z|\to+\infty$, то $\int_{L_r}f(z)e^{iz}dz\to 0$ при $r\to+\infty$. Упътване. Оценете интеграла и използвайте неравенството $\frac{2}{\pi}t\leq\sin t\leq t$ валидно при $t\in[0,\frac{\pi}{2}]$.

назад