Еднозначни клонове

Еднозначни клонове на комплексния логаритъм

В предната тема разглеждахме комплексния логаритъм като хомоморфизъм на групи, чиито стойности са елементи на факторгрупа, т. е. класове на еквивалентност. Сега ще видим по какъв начин можем да разглеждаме комплексния логаритъм като съвкупност от функции, чиито стойности са комплексни числа.

Нека $D\subset\mathbb{C}\setminus\{0\}$ е област. Казваме функцията $f:D\to\mathbb{C}$ е непрекъснат (еднозначен) клон на комплексния логаритъм (на $\log$), ако

  • $f$ е непрекъсната функция в $D$,
  • $e^{f(z)}=z$, за всяко $z\in D$.

Определението показва, че ако $f:D\to\mathbb{C}$ е непрекъснат клон на $\log$, то за всяко $z\in D$, стойността $f(z)$ e един от елементите на $\log z$. Също така е очевидно, че ако $k\in\mathbb{Z}$ и $f$ е непрекъснат клон на $\log$, то $f+2k\pi i$ е също непрекъснат клон на $\log$. Оказва се, че пробягвайки $k$, по този начин можем да получим всички непрекъснати клонове на $\log$ в $D$. Наистина, ако $f$ и $g$ са непрекъснати клонове на $\log$ в $D$, то $e^{f(z)}=z=e^{g(z)}$, което показва, че за всяко $z$ съществува число $k(z)\in\mathbb{Z}$, такова, че $f(z)-g(z)=2k(z)\pi i$. Следователно $k(z)=\frac{f(z)-g(z)}{2\pi i}$ е непрекъсната функция в $D$, която приема целочислени стойности, т. е. $k$ е непрекъсната локално постоянна функция. Тъй като $D$ е свързано множество, функцията $k$ е постоянна в $D$. Това показва, че всеки два непрекъснати клона на $\log$ в $D$ се отличават с целочислено кратно на $2\pi i$ и следователно, за да определим всички непрекъснати клонове на $\log$ в областта $D$, е достатъчно да намерим само един. Както ще се убедим след малко, не във всяка област може да се определи еднозначен клон на $\log$.

Да си спомним по какъв начин дефинирахме реалния логаритъм: на всяко $x>0$ съпоставихме единственото реално число $y$, за което $e^y=x$. От друга страна, ако $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, то съществуват безбройно много числа $w\in\mathbb{C}$, за които $e^w=z$. Това показва, че за разлика от реалния случай,  уравнението $e^w=z$ не определя функция, тъй като то има безброй решения, а именно $w\in \ln|z|+i\arg z+2\pi i\mathbb{Z}$. Можем обаче да дефинираме функция в $\mathbb{C}\setminus\{0\}$, която на всяко ненулево комплексно число $z$ съпоставя едно от многото решения на уравнението $e^w=z$. По-точно, за всяко $k\in\mathbb{Z}$, можем да определим функция $f_k:\mathbb{C}\setminus\{0\}\to\mathbb{C}$, като $f_k(z)=\ln|z|+i\arg z+2k\pi i$. Тогава $e^{f_k(z)}=z$, за всяко $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Функцията $f_k$ обаче не е непрекъсната в $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ и следователно тя не е еднозначен клон на $\log$ в тази област. От друга страна, както лесно може да се провери, $f_k$ е непрекъсната в $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ и следователно тя е еднозначен клон на $\log$ в тази област. Следователно $f_k, k\in\mathbb{Z}$ са всички непрекъснати клонове на $\log$ в $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$ и това е една максимална област, в която можем да дефинираме непрекъснат клон на $\log$.

Упражнения

  1. Покажете, че ако $f$ е непрекъснат клон на $\log$ в областта $D\subset\mathbb{C}\setminus\{0\}$, то $f'(z)=\frac{1}{z}$.
    Забележка. Това показва, че всеки непрекъснат клон на $\log$ има производна, която можем да пресметнем по съответната формула. Интересно е да отбележим, че съществуването на производната следва от непрекъснатостта.
  2. Проверете, че ако $k\in\mathbb{Z}$ и $f:\mathbb{C}\setminus\{0\}\to\mathbb{C}$, се дефинира с $f(z)=\ln|z|+i\arg z+2k\pi i$, то $f$ не е непрекъсната в $\mathbb{C}\setminus\{0\}$, но е непрекъсната в $\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$.

Еднозначни клонове на комплексните степени

Напомняме, че за всяко $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ и $\alpha\in\mathbb{C}$ дефинирахме $z^{\alpha}=\exp(\alpha\log z)$. Тогава ако $f$ еднозначен клон на $\log$ в областта $D\subset\mathbb{C}\setminus\{0\}$, то е определена функцията $\exp(\alpha f)$, която се нарича еднозначен клон на $\exp(\alpha\log)$ в $D$. Така еднозначните клонове на комплексните степени се определят от еднозначните клонове на логаритъма. Ако $f:D\to\mathbb{C}$ е еднозначен клон на $\exp(\alpha\log)$ в $D$, то $f'(z)=\frac{ \alpha f(z)}{z}$. Наистина, тъй като $f(z)=\exp(\alpha g(z))$, където $g:D\mapsto\mathbb{C}$ е непрекъснат клон на $\log$ в $D$, от теоремата за диференциране на съставна функция имаме $f'(z)=\exp(\alpha g(z))(\alpha g(z))’=\alpha\exp(\alpha g(z))\frac{1}{z}=\frac{\alpha f(z)}{z}$. Оттук можем да видим, че производната на всеки еднозначен клон на $\exp(\alpha\log)$ в $D$ е еднозначен клон на $\alpha\exp((\alpha-1)\log)$, и тези еднозначни клове се определят от един и същ еднозначен клон на $\log$ в $D$, тъй като $(\exp(\alpha g(z)))’=\frac{\alpha\exp(\alpha g(z))}{z}=\frac{\alpha\exp(\alpha g(z))}{\exp(g(z))}=\alpha\exp((\alpha-1)g(z))$.

назад