Връзка между хармонични и холоморфни функции

Нека $U\subset\mathbb{C}$ е отворено множество и функцията $f:U\to\mathbb{F}$ има частни производни $f_x$ и $f_y$ в $U$. Ако $f_x$ и $f_y$ имат частни производни в $U$, то в $U$ са дефинирани функциите $(f_x)_x$, $(f_x)_y$, $(f_y)_x$, $(f_y)_y$, които се означават съответно с $f_{xx}$, $f_{xy}$, $f_{yx}$, $f_{yy}$ и се наричат частни производни на $f$ от втори ред в $U$. Нека $f$ има непрекъснати частни производни от втори ред в $U$. Казваме, че $f$ е хармонична в $U$, ако $f_{xx}(z)+f_{yy}(z)=0$ за всяко $z\in U$. По-нататък ще се убедим, че реалната и имагинерната част на всяка холоморфна функция са хармонични в дефиниционното си множество. В настоящата тема ще се убедим, че за всяка реалнозначна хармонична функция $u$ в $U$ и всяка точка $a\in U$, съществува околност $V$ на $a$ и реалнозначна хармонична функция $v$ в $V$, такава че функцията $f=u+iv$ е холоморфна в $V$. Наистина, ако такава функция $v$ съществува, то $dv=v_xdx+v_ydy=-u_ydx+u_xdy$ в $V$, предвид уравненията на Коши-Риман. Да разгледаме диференциалната форма $\omega=-u_ydx+u_xdy$, с непрекъснато диференцируеми коефициенти в $U$. По известна теорема от реалния анализ, $\omega$ e локално точна, тогава и само тогава, когато $(-u_y)_y=(u_x)_x$ в $U$, т. е. $u_{xx}+u_{yy}=0$ в $U$. Последното условие е изпълнено, тъй като $u$ е хармонична в $U$. Следователно за всяка точка $a\in U$, съществува околност $V$ на $a$ и непрекъснато диференцируема функция $v$, дефинирана в $V$ и такава, че $dv=\omega$ в $V$. Тъй като $u_x$ и $u_y$ имат непрекъснати частни производни в $U$, от $dv=\omega$ в $V$, (т. е. $v_x=-u_y$ и $v_y=u_x$ в $V$) виждаме, че $v_x$ и $v_y$ имат непрекъснати частни производни в $V$, функцията $v$ е хармонична и $f=u+iv$ е холоморфна в $V$. Отбелязваме, че функцията $v$ е определена с точност до константа, тъй като примитивната на всяка локално точна форма има това свойство.

Забележка. След като установим, че реалната и имагинерна част на всяка холоморфна функция са хармонични, можем да твърдим, че всяка холоморфна функция се определя еднозначно в околност на дадена точка, при условие че е известна стойността на функцията в точката и реалната или имагинерната и част.

Упражнения

  1. Намерете холоморфна в $\mathbb{C}$ функция $f=u+iv$ ако: а) $u(x+iy)=2x(1-y)$, б) $u(x+iy)=e^{-x}(x\sin y-y\cos y)$, в) $v(x,y)=\frac{y}{x^2+y^2}$, $f(2)=0$.
  2. Проверете, че ако една холоморфна функция има непрекъснати частни производни от втори ред в околност на дадена точка, то тя е хармонична в тази околност. Оттук получаваме, че реалната и имагинерната част на функцията също са хармонични в тази околност.
  3. За кои стойности на $a,b,c\in\mathbb{R}$ съществува холоморфна в $\mathbb{C}$ функция $f=u+iv$, за която $v(x+iy)=ax^2y+bxy^2+cy^3$?
  4. Нека $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ е двукратно гладка функция. Използвайки, че реалната и имагинерната част на холоморфна функция са хармонични, намерете холоморфна функция $f=u+iv$, за която а) $u(x+iy)=\varphi(\frac{y}{x})$, б) $u(x+iy)=\varphi(\cos x\cosh y)$, в) $v(x+iy)=\varphi(x+\sqrt{x^2+y^2})$.

назад