Уравнения с разделени променливи

Както видяхме в предната тема, ако $Pdx+Qdy$ е локално точна форма с непрекъснати коефициенти в дадена област $D\subseteq\mathbb{R}^2$, то в околност на всяка неособена точка на формата, задачата на Коши $Pdx+Qdy=0, (a,b)\in D$ има единствено решение, което се определя като неявна функция от уравнението $F(x,y)=F(a,b)$, където $F$ е примитивна на формата $Pdx+Qdy$ в околност на точката $(a,b)$ (вж. упражнение 1 на тази тема). Както вече видяхме с примери, в околност на точките, в които $P$ и $Q$ се анулират едновременно (особените точки), задачата на Коши може да има повече от едно решение или да няма решения. Въпросът как изглеждат интегралните криви в околност на особена точка ще дискутираме по-нататък.

Най-простият случай на точно диференциално уравнение е уравнението $P(x)dx+Q(y)dy=0$, където $P,Q$ са непрекъснати функции в дадени интервали $I,J$, които не се анулират едновременно в правоъгълника $I\times J$. Такова уравнение се нарича уравнение с разделени променливи. От теоремата на Нютон-Лайбниц имаме, че функцията $F(x,y)=\int_a^xP(t)dt+\int_b^yQ(t)dt$, където $(a,b)\in I\times J$ произволна фиксирана точка, е примитивна на формата $P(x)dx+Q(y)dy$ и следователно всички решения на уравнението се определят от $F(x,y)=c$, където $c\in\mathbb{R}$ е произволна константа от множеството от стойности на $F$. Уравненията с разделени променливи могат да бъдат зададени и във вида $Q(y)y’=P(x)$ или $P(x)x’=Q(y)$. Последните уравнения имат смисъл при условие, че $Q$ и $P$ не се анулират съответно в някакви интервали, при което те са еквивалентни на $P(x)dx-Q(y)dy=0$, т. е. уравнение, което вече знаем как се решава. Така виждаме, че практическото решаване уравнения с разделени променливи се свежда до пресмятане на интеграли от коефициентите по отделните променливи. Както ще видим в следващите няколко теми, методите за решаване на повечето диференциални уравнения от първи ред се състоят в това, да се направи подходяща смяна на координатите, така че уравнението да се сведе до уравнение с разделени променливи.

Упражнения

  1. Решете уравненията $(x^2+1)dx+ydy=0$, $\frac{y’}{1+y^2}=x\sin x$, $xy’=y$.
  2. Решете задачите на Коши: а) $yy’=\sqrt{x}$, $y(1)=1$, б) $xdx=ydy$, $(1,-1)$.
  3. Колко решения има задачата на Коши: a) $y’\cot x+y=2$, $y(0)=-1$, б) $xy’=y$, $y(0)=0$?

назад