Уравнения на Клеро и Лагранж

Уравнения на Клеро
Уравнения на Клеро се наричат уравненията от вида $y=xy’+f(y’)$, където $f$ е два пъти непрекъснато-диференцируема в даден интервал $(a,b)$ и $f”\neq 0$ в този интервал. Тези уравнение можем да изследваме както се изследват всички уравнения нерешени относно производната.

Разглеждаме уравнението $y=xz+f(z)$, от което взимаме пълен диференциал при което получаваме $dy=zdx+xdz+f'(z)dz$. Комбинирайки това уравнение с $dy=zdx$ получаваме уравнението $(x+f'(z))dz=0$. Оттук получаваме $x+f'(z)=0$ или $dz=0$. От първото уравнение намираме $x=-f'(z)$, а от началното уравнение $y=-f'(z)z+f(z)$. Тъй като $f”(z)\neq 0$, тази двойка уравнения определя параметрично представяне на решение на уравнението на Клеро, което e особено решение (тъй като то произхожда от решението $z\mapsto(-f'(t), -f'(z)z+f(z) ,z)$ на системата $dy=zdx+xdz+f'(z)dz$, $dy=zdx$, което се състои от особени точки). От $dz=0$ виждаме, че $z=c$, където $c\in \mathbb{R}$. Следователно $y=xc+f(c)$ са останалите решения на уравнението на Клеро. Можем да проверим, че тази фамилия има обвивка, а именно кривата $x=-f'(c)$, $y=-f'(c)c+f(c)$, която очевидно съвпада с особеното решение на уравнението на Клеро. И така, особеното решение на уравнението на Клеро е обвивката на фамилията от останалите решения.

Уравнения на Лагранж
Уравнения на Лагранж се наричат уравненията от вида $y=\varphi(y’)x+\psi(y’)$, където за $\varphi$ и $\psi$ се предполага че са непрекъснато-диференцируеми в интервал. Да за бележим, че ако $\varphi(z)=z$, се получава уравнение на Клеро. Съответната диференциална система е $dy=\varphi(z)dx+(\varphi'(z)x+\psi'(z))dz$, $dy=zdx$. От нея получаваме уравнението $(\varphi(z)-z)dx+ (\varphi'(z)x+\psi'(z))dz=0$. Ако $w$ е такова, че $\varphi(w)-w=0$, то $z=w$ e решение на диференциалното уравнение и следователно $y=\varphi(w)x+\psi(w)$ е решение на уравнението на Лагранж. Ако $\varphi(z)-z\neq 0$ получаваме уравнението $dx=\frac{\varphi'(z)x+\psi'(z)}{ \varphi(z)-z }dz$, което е екивалентно на линейното уавнение $x’= \frac{\varphi'(z)}{ \varphi(z)-z }x+ \frac{\psi'(z)}{ \varphi(z)-z }$. Решавайки това линейно уравнение относно $x$ и замествайки получената функция на $z$ в $ y=\varphi(z)x+\psi(z)$, получаваме останалите решения на уравнението на Лагранж в параметричен вид.

назад