Точни диференциални уравнения

Точно диференциално уравнение или уравнение от пълен диференциал се нарича уравнение от вида $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,$ където $P,Q$ са непрекъснати функции в отворено множество $D\subseteq\mathbb{R}^2$ и $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ е точна диференциална форма в $D$. Напомняме, че диференциалната форма $Pdx+Qdy$ се нарича точна в $D$, ако съществува напрекъснато-диференцируема функция $F:D\to\mathbb{R}$, такава че $dF=Pdx+Qdy$. Такава функция се нарича примитивна на диференциалната форма $Pdx+Qdy$. Тъй като по определение $dF=F_xdx+Q_ydy$, функцията $F$ трябва да удовлетворява в $D$ частните диференциални уравнения $F_x=P$ и $F_y=Q$. С други думи, за да намерим примитивна на една диференциална форма, трябва да намерим функция, ако са дадени нейните частни производни. Казваме, че диференциална форма $Pdx+Qdy$ е локално точна в $D$, ако всяка точка от $D$, има околност в която формата е точна.

Как да разберем кога една диференциална форма е точна? Доказва се, че $Pdx+Qdy$ е точна в $D$ тогава и само тогава, когато стойността на криволинейния интеграл $\int_{\gamma}Pdx+Qdy$, не зависи от избора на частично гладката крива $\gamma\subset D$, с краища две фиксирани точки от $D$. По-точно, ако $dF=Pdx+Qdy$, то за всяка частично гладка крива $\gamma\subset D$, с начало $(a,b)\in D$ и край $(x,y)\in D$, имаме $\int_{\gamma}Pdx+Qdy=F(x,y)-F(a,b)$. Ако пък за всяка частично гладка крива $\gamma\subset D$ с начало точката $(a,b)$ и край точката $(x,y)$, стойността на криволинейния интеграл $\int_{\gamma}Pdx+Qdy$ е постоянна, то в $D$ е определена функцията $F(x,y)=\int_{\gamma}Pdx+Qdy$ и за нея се доказва, че $dF=Pdx+Qdy$.

В случая, когато формата $Pdx+Qdy$ е непрекъснато диференцируема в $D$, (т. е. функциите $P, Q$ имат непрекъснати частни производни в $D$), се доказва, че формата $Pdx+Qdy$ е локално точна тогава и само тогава, когато тя е затворена в $D$, т. е. когато $P_y-Q_x=0$ в $D$. Лесно се проверява, че всяка точна форма в $D$ с непрекъснато-диференцируеми коефициенти е затворена в $D$ (това следва от теоремата за равенство на смесените производни). Обратното твърдение обаче е вярно само локално. Доказва се (не тривиално), че една затворена форма в област $D\subset\mathbb{R}^2$ е точна в цялата област $D$ (а не само локално) ако областта $D$ е едносвързана, т. е. ако (образно казано) $D$ е област без дупки, с други думи, всяка затворена крива в $D$ може да се деформира непрекъснато в точка от $D$.

Едно точно диференциално уравнение $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ в отворено множество $D\subseteq\mathbb{R}^2$ се решава, като се намери примитивна на диференциалната форма $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$, в околност $U$ на произволна фиксирана точка $(a,b)$ от $D$. Ако $F$ е примитивна на $Pdx+Qdy$ в $U$ и $Pdx+Qdy=0$, то $dF=0$ в $U$. Следователно $F$ е постоянна в $U$ (тъй като за всяка частично гладка крива $\gamma\subset U$ с начало точката $(a,b)$ и край точката $(x,y)$, имаме $0=\int_{\gamma}dF=F(x,y)-F(a,b)$). Ако непрекъснато-диференцируемите функции $x:(\alpha,\beta)\to\mathbb{R}$, $y:(\alpha,\beta)\to\mathbb{R}$ са такива че $(x(t),y(t))\in U$, $x'(t)^2+y'(t)^2>0$ и $F(x(t),y(t))=c$ в интервала $(\alpha,\beta)$, за някое $c\in\mathbb{R}$, то $$F’_x(x(t),y(t))x'(t)+F’_y(x(t),y(t))y'(t)=P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)=0$$ в $(\alpha,\beta)$ и следователно кривата определена с $t\mapsto(x(t),y(t))$ е решение на уравнението $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$. Обратно, всяко решение на точното уравнение $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=dF=0$ е гладка крива $t\mapsto(x(t),y(t))$, за която $F(x(t),y(t))=c$, за някоя константа $c\in\mathbb{R}$, в някой интервал $(\alpha,\beta)$, тъй като $$0=P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)=F_x(x(t),y(t))x'(t)+F_y(x(t),y(t))y'(t)=\frac{d}{dt}\left(F(x(t),y(t))\right)$$ в $(\alpha,\beta)$ и следователно функцията $t\mapsto F(x(t),y(t))$ е постоянна в $(\alpha,\beta)$. Така виждаме, че интегралните криви на точно диференциално уравнение $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ се определят локално от уравнението $F(x,y)=c$, където $F$ е примитивна на формата $Pdx+Qdy$ и $c$ принадлежи на множеството от стойности на $F$.

Ще напомним, че ако точката $(a,b)\in D$ не е особена за формата $Pdx+Qdy$, т. е. $P(a,b)\neq 0$ или $Q(a,b)\neq 0$, то съответно $F_x(a,b)\neq 0$ или $F_y(a,b)\neq 0$ и тогава през точката $(a,b)$ минава единствена интегрална крива на уравнението $Pdx+Qdy=0$, а ако $(a,b)$ e особена точка за формата $Pdx+Qdy$, то през тази точка може да минават повече от една интегрална крива на уравнението $Pdx+Qdy=0$, а може изобщо да не минават такива криви (вж. теоремата и примерите в тази тема).

И тъй, за да решим точно уравнение $Pdx+Qdy=0$ трябва да намерим примитивна на диференциала $Pdx+Qdy$. Това става по следния начин. Ако $Pdx+Qdy$ е непрекъснато-диференцируема точна диференциална форма в кръг $D\subset \mathbb{R}^2$, с център $(a,b)$ и радиус $r>0$, и нека $F$ е нейна примитивна. Тогава $F_x(x,y)=P(x,y)$ и $F_y(x,y)=Q(x,y)$ за всички $(x,y)\in D$. Интегрираме едно от последните две уравнения по съответната координата (на практика избираме по-простото от тях, в зависимост от вида на $P$ и $Q$). Тогава за всяка точка $(x,y)\in D$ имаме $F(x,y)=\int_{a}^xP(t,y)dt+F(a,y)$, при което задачата се свежда до определяне на функцията $y\mapsto F(a,y)$, дефинирана в околност на $b$. Фиксираме $x$ и диференцираме полученото уравнение в точката $y$, като отчитаме, че $F_y(x,y)=Q(x,y)$. Получаваме \begin{equation}Q(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(\int_{a}^xP(t,y)dt\right)+F_y(a,y).\end{equation} Тъй като $P$ и $P_y$ са непрекъснати функции в $D$, от теоремата за диференциране на интеграл зависещ от параметър имаме, че \begin{equation}\frac{\partial}{\partial y}\left(\int_{a}^xP(t,y)dt\right)=\int_{a}^xP_y(t,y)dt.\end{equation} Тъй като $P_y=F_{yx}=F_{xy}=Q_x$, замествайки последното в (2) и на свой ред (2) в (1) получаваме $$Q(x,y)=\int_{a}^xQ_x(t,y)dt+F_y(a,y)=Q(x,y)-Q(a,y)+F_y(a,y)$$ и следователно $F_y(a,y)=Q(a,y)$. Оттук $F(a,y)=\int_{b}^yQ(a,t)dt+F(a,b)$ откъдето намираме $$F(x,y)=\int_{a}^xP(t,y)dt+\int_{b}^yQ(a,t)dt+F(a,b).$$ Непосредствено се проверява, че $dF=Pdx+Qdy$. Проверете!

Упражнения

  1. Нека $P$ и $Q$ са непрекъснато-диференцируеми функции в областта $D\subseteq\mathbb{R}^2$. При какво условие уравнението $Pdx+Qdy=0$ е от пълен диференциал в $D$?
  2. Кои от следните диференциали са точни в дефиниционните си множества $(2x+3x^2y)dx+(x^3-3y^2)dy$, $(x+y^2)dx-2xydy$, $2xydx+(x^2-y^2)dy=0$, $(xy+\sqrt{x^2+y^2})dx+(x^2+2y^2)dy$?
  3. Точен ли е диференциалът $\frac{y}{x^2+y^2}dx-\frac{x}{x^2+y^2}dy$ в областта $\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}$?
  4. Покажете, че следните диференциали са точни и намерете техни примитивни $e^{-y}dx-(2y+xe^{-y})dy$, $2x(1+\sqrt{x^2-y})dx-\sqrt{x^2-y}dy$, $(2-9xy^2)xdx+(4y^2-6x^3)ydy$.
  5. Решете диференциалните уравнения $2xydx+(x^2-y^2)dy=0$, $2x(1+\sqrt{x^2-y})dx-\sqrt{x^2-y}dy =0$, $e^{-y}dx-(2y+xe^{-y})dy=0$.

назад