Свеждане на задача на Коши за уравнение от по-висок ред до задача на Коши за нормална система

Да напомним, че диференциално уравнение от по-висок ред се нарича уравнение, в което участват една неизвестна диференцируема функция и нейните производни до определен ред. Много от класическите задачи на физиката и механиката се формулират чрез диференциални уравнения от втори ред. В настоящата тема ще обърнем вниманине на уравненията от $n$-ти ред, които обикновено се записват във вида $F(x,y,y’,\ldots,y^{(n)})=0$, където $F$ е известна функция на $n+2$ променливи. За този тип уравнения може да се поставя задача на Коши, при това, при определени условия, такава задача на Коши се свежда до задача на Коши за нормална система. За да разберем по-добре каква е постановката на задачата, нека $U\subseteq\mathbb{R}^{n+2}$ е отворено множество и $F:U\to\mathbb{R}$ е непрекъснато-диференцируема функция в $U$. Ще предполагаме, че $(x_0,y_0,y_1,\ldots,y_n)\in U$, $F(x_0,y_0,y_1,\ldots,y_n)=0$ и $\frac{\partial F}{\partial y_n}(x_0,y_0,y_1,\ldots,y_n)\neq 0$. Задачата на Коши се състои в това да се намерят всички $n$ пъти непрекъснато-диференцируеми в интервал $I\subseteq\mathbb{R}$ функции $\varphi:I\to\mathbb{R}$, за които $x_0\in I$, $\varphi(x_0)=y_0$, $\varphi'(x_0)=y_1,\ldots,\varphi^{(n)}(x_0)=y_n$, $(x,\varphi(x),\varphi'(x),\ldots,\varphi^{(n)}(x))\in U$, $F(x,\varphi(x),\varphi'(x),\ldots,\varphi^{(n)}(x))=0$, за всяко $x\in I$. Всяка такава функция се нарича решение на задачата на Коши, която се записва по следния начин \begin{equation}\label{norderprob}
F(x,y,y’,\ldots,y^{(n)})=0,\quad y(x_0)=y_0,y'(x_0)=y_1,\ldots,y^{(n)}(x_0)=y_n\end{equation} Да се убедим, че при направените предположения, задачата на Коши има единствено решение. За целта ще сведем задачата до задача на Коши за система от диференциални уравнения от първи ред. Дефинираме функциите $z_1=y,z_2=y’,\ldots,z_n=y^{(n-1)}$. Тогава след диференциране и заместване в уравнението $F(x,y,y’,\ldots,y^{(n)})=0$, получаваме системата $z_1’=z_2,z_2’=z_3,\ldots,z_{n-1}’=z_n$, $F(x,z_1,z_2,\ldots,z_n,z_n’)=0$. За началните условия имаме $z_1(x_0)=y_0,z_2(x_0)=y_1,\ldots, z_n(x_0)=y_n$. Така получихме задача на Коши за система от диференциални уравнения от първи ред, в която последното уравнение е нерешено относно производната. Тази задача можем да сведем до задача на Коши за нормална система, прилагайки теоремата за неявната функция. Действително, от тази теорема следва, че съществуват околност $V\subseteq\mathbb{R}^{n+1}$ на точката $(x_0,y_0,y_1,\ldots,y_{n-1})$, околност $W\subseteq\mathbb{R}$ на точката $y_n$ и единствена непрекъснато-диференцируема функция $f:V\to W$, за която $y_n=f(x_0,y_0,y_1,\ldots,y_{n-1})$ и $$\{(x,u_0,u_1,\ldots,u_{n-1},u_n)\in V\times W|u_{n}=f(x,u_0,u_1,\ldots,u_{n-1})\}=$$$$=\{(x,u_0,u_1,\ldots, u_{n-1},u_{n})\in V\times W|F(x,u_0,u_1\ldots, u_{n-1}, u_{n})=0\}.$$
Тъй като функциите $z_j$, $j\in\{1,\ldots,n\}$ и $z_n’$ са непрекъснати в интервал съдържащ $x_0$, евентуално в по-малък такъв интервал $J\subseteq\mathbb{R}$ е изпълнено $(x,z_1(x),\ldots,z_n(x),z_n'(x))\in V\times W$, откъдето виждаме, че съотношенията $F(x,z_1(x),\ldots,z_n(x),z_n'(x))=0$ и $z_n'(x)=f(x,z_1(x),\ldots,z_n(x))$ са еквивалентни за всяко $x\in J$. По този начин получихме следната задача на Коши за нормална система от първи ред: \begin{equation}\label{normsys}
z_1’=z_2,z_2’=z_3,\ldots,z_{n-1}’=z_n, z_n’=f(x,z_1,\ldots,z_n),
\end{equation}$$z_1(x_0)=y_0,z_2(x_0)=y_1,\ldots, z_n(x_0)=y_{n-1}.$$ Отбелязваме, че условието $y^{(n)}(x_0)=y_n$ от задачата на Коши (1), което се редуцира до $z_n'(x_0)=y_n$ изпозлвахме в теоремата за неявната функция при еднозначното определяне на функцията $f$. Тъй като десните страни на уравненията в последната система имат непрекъснати производни по $z_1,\ldots,z_n$ (за $f$ това следва от теоремата за неявната функция), съответната задача на Коши (2) има единствено решение. Оттук виждаме, че същото е вярно за съответната задача на Коши (1) за уравнението от $n$-ти ред.

назад