Решаване на уравнения чрез определяне на интегриращ множител

В настоящата тема ще разгледаме въпросът какво се прави, когато уравнението $P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$ не е точно в област $D\subseteq\mathbb{R}^2$. В общи линии, когато формата $\omega=Pdx+Qdy$ не е точна в $D$, се търси непрекъсната неанулираща се функция $h$ в $D$, такава че $h\omega$ да бъде точна форма в $D$. Такава функция $h$ се нарича интегриращ множител за уравнението $\omega=0$. Да напомним, че ако $\omega$ се умножи с непрекъсната, неанулираща се функция $h$, със същото дефиниционно множество, както самото уравнение, то $\omega=0$ и $h\omega=0$ имат едно също множество от решения. Това позволява да твърдим, че сме решили уравението $\omega=0$, в случай, че сме решили точното уравнение $h\omega=0$.

Да отбележим следните особености, които могат да се наблюдават при практическите пресмятания. Ако дефиниционното множество на уравнението $h\omega=0$ e по-широко от дефиниционно множество на уравнението $\omega=0$, то уравнението $h\omega=0$ ще има повече решения от уравнението $\omega=0$ (т. е. то може да има допълнителни решения, които не са решения на $\omega=0$). Ако пък дефиниционното множество на уравнението $h\omega=0$ e по-тясно от дефиниционно множество на уравнението $\omega=0$, то последното уравнение може да има повече решения от уравнението $h\omega=0$, и в този случай трябва да се търсят допълнителни решения на уравнението $\omega=0$. Например уравнението $\omega=(3y^2-x)dx+(2y^3-6xy)dy=0$ е дефинирано в $\mathbb{R}^2$ и не е точно. От друга страна, функцията $h(x,y)=(x+y^2)^{-3}$ е интегриращ множител, при което дефиниционното множество на $h\omega=0$ e отвореното множество $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x+y^2\neq 0\}$, което е по-тясно от дефиниционното множество на $\omega=0$. Съответните решения на уравнението $h\omega=0$ в $D$ (и оттук на $\omega=0$) се определят от уравнението $\frac{2y^3-6xy}{(x+y^2)^3}=c$. Тогава трябва да проверим дали кривата с уравнение $x+y^2=0$ е решение на изходното уравнение. Със заместване в уравнението виждаме, че това е така и при това, тази крива не се получава от уравнението $\frac{2y^3-6xy}{(x+y^2)^3}=c$ за никоя стойност на $c$, т. е. тя е особено решение на уравнението $\omega=0$ в $\mathbb{R}^2$, (което очевидно не се състои от особени точки на $\omega$). Да забележим, че уравнението $h\omega=0$ може да има допълнителни особени точки, ако функцията $h$ се анулира в точки от $D$, но уравненията $\omega=0$ и $h\omega=0$ са еквивалентни само в сечението на дефиниционните си множества и където $h\neq 0$, така че евентуалните особени решения, които могат да се съдържат в множеството от нули на $h$ трябва да се изключат. Също така е възможно решения на уравнението $\omega=0$ да се съдържат в границата на дефиниционното му множество (такива решения също се наричат особени, макар и да не се състоят от особени точки). Пример за такава ситуация ни дава уравнението $\omega=(\sqrt{y-x^2}+2x)dx-dy=0$, дефинирано в областта $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|y>x^2\}$. Самото уравнение не е точно в $D$, но може да се види, че функцията $h(x,y)=\frac{1}{\sqrt{y-x^2}}$ е интегриращ множител, дефиниран в $D$ (но не и върху границата на $D$), при което $h\omega=0$ е точно уравнение в $D$, което е еквивалентно на $\omega=0$ само в $D$. По описания по-горе начин можем да намерим примитивната $F(x,y)=x+2\sqrt{x^2-y}$ на $h\omega$ в $D$, при които всички решения на уравнението $h\omega=0$ се определят от уравнението $x+2\sqrt{x^2-y}=c$, където $c\in\mathbb{R}$. Това са и всички решения на $\omega=0$ в $D$. От друга страна уравнението $\omega=0$ има смисъл и върху границата на $D$, която представлява параболата с уравнение $y=x^2$ и която, както може да се види, също е решение на уравнението. Това решение обаче не можем да получим от уравнението $x+2\sqrt{x^2-y}=c$ за никоя стойност на $c$, т. е. имаме особено решение, което очевидно нe се състои от особени точки.

Ще отбележим, че задачата за намиране на интегриращ множител, в случая когато $P$ и $Q$ са непрекъснато-диференцируеми в $D$, води до задача за решаване на уравнение, в което участват частните производни на $h$. По-точно получава се квазилинейно нехомогенно частнo диференциалнo уравнениe от първи ред, което е по-трудно за решаване, отколкото първоначалното уравнение. Затова обикновенно се търсят интегриращи множители от прост вид, например зависещи само от една от координатите $x$ или $y$, или зависещи от предварително подбрана функция на двете координати, в зависимост от вида на коефициентите на $\omega$. От друга страна, от теорията на квазилинейните частни диференциални уравнения от първи ред следва, че когато $P$ и $Q$ имат непрекъснати частни производни в областта $D$, то за уравнението $Pdx+Qdy=0$ съществува интегриращ множител в околност на всяка неособена точка на $\omega$. Практическото намиране на интегриращ множител обаче в повечето случаи е невъзможно.

Упражнения

  1. Изведете уравнение за интегриращ множител на уравнението $Pdx+Qdy=0$, при условие, че $P,Q$ са непрекъснато-диференцируеми функции в областта $D\subseteq\mathbb{R}^2$.
  2. Решете уравнението $(3y^2-x)dx+(2y^3-6xy)dy=0$, ако е известно, че то допуска интегриращ множител от вида $h(x,y)=\varphi(x+y^2)$, където $\varphi$ е непрекъснато диференцируема функция.
  3. Решете уравнението $(\sqrt{y-x^2}+2x)dx-dy=0$, ако е известно, че то допуска интегриращ множител от вида $h(x,y)=\varphi(x^2-y)$, където $\varphi$ е непрекъснато диференцируема функция.
  4. Решете уравнението $1-xy\tan(xy)=x^2\tan(xy)y’$.
  5. Покажете, че всяко уравнение с разделящи се променливи допуска интегриращ множител, като посочите такъв.

назад