Обвивки на фамилии от криви

В настоящата тема ще дефинираме понятието обвивка на фамилия от гладки криви, а в следващите теми ще видим, че за някои диференциални уравнения фамилиите от интегрални криви имат обвивки, и тези обвивки също се явяват интегрални криви (всъщност особени решения). Ще видим какви свойства има обвивката на една фамилия от криви, и при какви условия една фамилия от криви има обвивка.
Нека $J\subseteq\mathbb{R}$ е отворен интервал и за всяко $c\in J$ е дадена гладка крива $\gamma_c\subset\mathbb{R}^2$. Казваме, че гладката крива $\gamma\subset \mathbb{R}^2$ е обвивка на фамилията от криви $\{\gamma_c|c\in J\}$, ако $\gamma$ допуска гладка параметризация $\theta:J\to \mathbb{R}^2$, такава че за всяко $c\in J$, кривите $\gamma$ и $\gamma_c$ се допират (т. е. имат обща допирателна права) в точката $\theta(c)$. От това определение директно виждаме, че за всяка точка от обвивката съществува крива от фамилията, която се допира до нея в тази точка, и за всяка крива от фамилията съществува точка от обвивката, в която кривата се допира.
Нека $U\subseteq\mathbb{R}^2$ е отворено множество, $f:U\times J\to\mathbb{R}$ е непрекъснато-диференцируема функция, $(f’_x,f’_y)\neq(0,0)$в $U\times J$, $\gamma_c=\{(x,y)\in U|f(x,y,c)=0\}$ за всяко $c\in J$ и $\gamma$ е обвивка на фамилията $\{\gamma_c|c\in J\}$. Тогава ако $(\varphi,\psi)$ е гладка параметризация на $\gamma$, за която $\gamma_c$ и $\gamma$ се допират в $(\varphi(c),\psi(c))$, то е изпълнено $f(\varphi(c),\psi(c),c)=0$ и $f’z(\varphi(c),\psi(c),c)=0$ за всяко $c\in J$. Наистина, тъй като за всяко $c\in J$ точката $(\varphi(c),\psi(c))$ е обща за $\gamma_c$ и $\gamma$ имаме $f(\varphi(c),\psi(c),c)=0$. От друга страна, от теоремата за диференциране на съставна функция имаме $$f’_x(\varphi(c),\psi(c),c)\varphi'(c)+f’_y(\varphi(c),\psi(c),c)\psi'(c)+f’_z(\varphi(c),\psi(c),c)=0.$$ Тъй като $\gamma_c$ и $\gamma$ се допират в точката $(\varphi(c),\psi(c))$, нормалният вектор $(f’_x(\varphi(c),\psi(c),c),f’_y(\varphi(c),\psi(c),c))$ в точката $(\varphi(c),\psi(c))$ към кривата $\gamma_c$ е ортогонален на допирателния вектор $(\varphi'(c),\psi'(c))$ към $\gamma$ в точката $(\varphi(c),\psi(c))$. Следователно $f’_x(\varphi(c),\psi(c),c)\varphi'(c)+f’_y(\varphi(c),\psi(c),c)\psi'(c)=0$, откъдето $f’_z(\varphi(c),\psi(c),c)=0$. Така виждаме, че точките на обвивката се съдържат в множеството $$\{(x,y)\in U| \textit{съществува $c\in J$, такова че} f(x,y,c)=0, f’_z(x,y,c)=0\},$$ което се нарича \textit{дискриминантна крива} на фамилията $\{\gamma_c|c\in J\}$. В общия случай обаче дискриминантната крива на една фамилия може да не е нейна обвивка. Например дискриминантната крива на фамилията $\{\gamma_c|c\in J\}$, където $\gamma_c=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|y^3=(x-c)^2\}$ е правата с уравнение $y=0$, която не е обвивка на фамилията, тъй като тази права не се допира в никоя точка към някоя крива $\gamma_c$ от фамилията. Проверява се (чрез теоремата за неявните функции), че ако $f$ е два пъти непрекъснато-диференцируема в точката $(x_0,y_0,z_0)\in U\times J$, $f(x_0,y_0,z_0)=0$, $f’_z(x_0,y_0,z_0)=0$, $\det\begin{pmatrix} f’_x(x_0,y_0,z_0) & f’_y(x_0,y_0,z_0) \\ f’_{zx}(x_0,y_0,z_0) & f’_{zy}(x_0,y_0,z_0) \end{pmatrix}\neq 0$ и $f”_{zz}(x_0,y_0,z_0)\neq 0$, то съществува отворен интервал $I\subseteq J$ съдържащ $z_0$, такъв че фамилията $\{\gamma_c|c\in I\}$ има обвивка.

назад