Линейни хомогенни системи с постоянни коефициенти

В настоящата тема ще опишем практическия метод за решаване на нормални линейни хомогенни системи от диференциални уравнения, с постоянни комплексни коефициенти, т. е. системи от вида $\frac{dx}{dt}=Ax$, където $n\in\mathbb{N}$ и $A\in \mathbb{C}^{n\times n}$, т. е. $A$ е $n\times n$ матрица от комплексни числа, а $x:I\to\mathbb{C}^{n\times 1}$ е неизвестна диференцируема матрична функция, дефинирана в интервал $I\subseteq\mathbb{R}$. Напомняме, че функция, чиито стойности са матрици се нарича диференцируема, ако всичките елементи на матрицата са диференцируеми функции и тогава производната на функцията е матрицата от производните на елементите.
Решенията на системите от вида $\frac{dx}{dt}=Ax$ се определят по следния начин.
1) Пресмятаме характеристичния полином $h(z)=\det(A-zE)=a_0+a_1z+\ldots+a_nz^n$, на матрицата $A$ ($E$ е единичната матрица, $z\in\mathbb{C}$).
2) Определяме каноничното разлагане на характеристичния полином: $h(z)=a_n\prod_{j=1}^p(z-z_j)^{k_j}$, където $p\in\mathbb{N}$, $z_1,\ldots,z_p\in\mathbb{C}$, $z_j\neq z_k$ при $j\neq k$, $k_1,\ldots,k_p\in\mathbb{N}$, $k_1+\ldots+k_p=n$.
3) За всеки от корените $z_1,\ldots,z_p$ определяме размерността на собственото подпространство $\ker(A-z_jE)$, съответстващо на $z_j$. Числото $\dim \ker (A-z_jE)$ се нарича геометрична кратност на $z_j$, а числото $k_j$ от каноничното разлагане на $h$ – алгебрична кратност на $z_j$.
4) Ако $\dim \ker (A-z_jE)=g_j$ за $j\in\{1,\ldots,p\}$, то общото решение на системата $\frac{dx}{dt}=Ax$ се търси във вида $$\varphi(t)=\sum_{j=1}^pP_j(t)e^{z_jt},$$ където $P_j$ са векторни полиноми (т. е. матрици стълбове с елементи полиноми, или полиноми с коефициенти матрици стълбове) с $\deg P_j=k_j-g_j$, всеки от които се определя с точност до $k_j$ свободни коефициенти от условието $\frac{d\varphi}{dt}=A\varphi$. Грубо казано, общото решение на хомогенната система е сума от векторни квазиполиноми, всеки от които има за показател корен на характеристичния полином и степен – разликата между алгебричната и геометричната кратност на този корен.

Да забележим, че ако алгебричните кратности на корените на характеристичния полином съвпадат с геометричните (тогава матрицата $A$ се диагонализира), то полиномите $P_j$ са от нулева степен и съвпадат със собствените вектори на $A$ съответстващи на собствените стойности $z_j$, $j\in\{1,\ldots,p\}$. Наистина, ако $\varphi(t)=\sum_{j=1}^pe^{z_jt}v_j$, където $v_j$ са векторни полиноми от степен $0$, (т. е. постоянни вектори) , то условието $\frac{d\varphi}{dt}=A\varphi$ има вида $ \sum_{j=1}^pz_je^{z_jt} v_j=\sum_{j=1}^pe^{z_jt}Av_j$, което може да се запише във вида $\sum_{j=1}^p e^{z_jt}[(A-z_jE)v_j]=0$. Тъй като $z_j\neq z_k$ при $j\neq k$, функциите $t\mapsto e^{z_jt}$ са линейно независими (детерминантата на Вронски на тази система от функции е произведение на $e^{(z_1+\ldots+z_p)t}$ с детерминантата на Вандермонд от $z_1,\ldots,z_p$). Следователно $(A-z_jE)v_j=0$ за $j\in\{1,\ldots,p\}$, т. е. $v_j$ са вектори от собствените подпространства на $A$, съответстващи на собствените стойности $z_j$. Това показва, че когато алгебричните и геометричните кратности на корените на характеристичния полином съвпадат, общото решение се определя като линейна комбинация на собствени вектори на $A$, с коефициенти експоненти с показатели, съответните собствени стойности на $A$.

И тъй, вече знаем как да определим всички комплексни решения на системата $\frac{dx}{dt}=Ax$, когато матрицата $A$ е комплексна. Сега ще видим как можем да определим всички реални решения на тази система, когато матрицата $A$ е реална. Да видим първо как изглеждат всички комплексни решения в този случай. Ако характеристичният полином $h$ на $A$ има комплексен корен $z$, то и $\overline{z}$ е негов корен (такова свойство има всеки полином с реални коефициенти). Следователно ако $h$ има комплексни корени, те са четен брой и с една и съща алгебрична кратност. Геометричните кратности на $z$ и $\overline{z}$ също съвпадат, т. е. $\dim\ker(A-zE)=\dim\ker(A-\overline{z}E)$. Наистина, ако $v\in \ker(A-zE)$, то $Av=zv$, откъдето $\overline{z}\overline{v}=\overline{Av}=\overline{A}\overline{v}=A\overline{v}$, т. е. $\overline{v}\in\ker(A-\overline{z}E)$. Следователно, ако $v_1,\ldots v_s$ е база на $\ker(A-zE)$, то $\overline{v_1},\ldots,\overline{v_s}$ е база на $\ker(A-\overline{z}E)$ (тъй като ако $0=\sum_{j=1}^sc_j\overline{v_j}$, то $0=\sum_{j=1}^s\overline{c_j}v_j$, откъдето $\overline{c_1}=\ldots= \overline{c_s}=0$, т. е. $c_1=\ldots=c_s=0$).
Ако $h$ има и реални корени (това е задължително, когато $n$ е нечетно), то каноничното му разлагане има вида $$h(z)=a_n\prod_{j=1}^{p}(z-z_j)^{k_j}=a_n\prod_{j=1}^q(z-z_j)^{k_j}(z-\overline{z}_j)^{k_j} \prod_{j=2q+1}^p(z-z_j)^{k_j},$$ където $2\leq 2q<p$, $z_j\neq z_k$, при $j\neq k$, $z_j\in\mathbb{R}$, при $j\in\{2q+1,\ldots,p\}$ и $2k_1+\ldots+2k_q+k_{2q+1}+\ldots+k_p=n$. Следователно всяко комплексно решение на системата $\frac{dx}{dt}=Ax$ има вида $$\varphi(t)=\sum_{j=1}^qP_j(t)e^{z_jt}+Q_j(t)e^{\overline{z_j}t} +\sum_{j=2q+1}^pR_j(t)e^{z_jt},$$ където $\deg P_j=\deg Q_j=\deg R_j=k_j-g_j$ и $k_j, g_j$ са съответно алгебричната и геометричната кратност на $z_j$. Да забележим сега, че ако $\frac{d\varphi }{dt}=A\varphi$, то $\overline{\frac{d\varphi}{dt}}=\overline{A\varphi}=\overline{A}\overline{\varphi}=A\overline{\varphi}$, т. е. когато матрицата $A$ е реална, и $\varphi$ е комплексно решение на системата $\frac{dx}{dt}=Ax$, то и $\overline{\varphi} $ е решение на тази система. От друга страна, реалните решения на системата $\frac{dx}{dt}=Ax$ са комплексните решения $\varphi$, за които $\varphi=\overline{\varphi}$. Следователно от $$\overline{\varphi(t)}=\overline{\sum_{j=1}^qP_j(t)e^{z_jt}+Q_j(t)e^{\overline{z_j}t} +\sum_{j=2q+1}^pR_j(t)e^{z_jt}}=\sum_{j=1}^q\overline{P_j(t)}e^{\overline{z_j}t}+\overline{Q_j(t)}e^{z_jt}+\sum_{j=2q+1}^p\overline{R_j(t)}e^{z_jt}=$$$$=\sum_{j=1}^qP_j(t)e^{z_jt}+Q_j(t) e^{\overline{z_j}t}+\sum_{j=2q+1}^pR_j(t)e^{z_jt}=\varphi(t),$$ след групиране на експонентите с еднакви показатели получаваме $$\sum_{j=1}^q\left(\overline{P_j(t)}-Q_j(t)\right)e^{\overline{z_j}t}+\left(\overline{Q_j(t)}-P_j(t)\right)e^{z_jt}+\sum_{j=2q+1}^p\left(\overline{R_j(t)}-R_j(t)\right)e^{z_jt}=0.$$ Тъй като експонентите с различни показатели са линейно независими, получаваме $P_j=\overline{Q_j}$ и $R_j=\overline{R_j}$. Това показва, че за реалните решения на системата $\frac{dx}{dt}=Ax$, коефициентите на $P_j$ и $Q_j$ са комплексно спрегнати, а коефициентите на полиномите $R_j$ са реални. Следователно $$\varphi(t)=\sum_{j=1}^q \overline{Q_j(t)}e^{z_jt}+Q_j(t)e^{\overline{z_j}t}+\sum_{j=2q+1}^pR_j(t)e^{z_jt}= \sum_{j=1}^q2\text{ re}\left(\overline{Q_j(t)}e^{z_jt}\right)+\sum_{j=2q+1}^pR_j(t)e^{z_jt}.$$ Ако запишем $Q_j=\frac{1}{2}(U_j+iV_j)$, $z_j=\alpha_j+i\beta_j$, където $U_j,V_j$ са полиноми с реални коефициенти и $\alpha_j,\beta_j\in\mathbb{R}$, $j\in\{1,\ldots,q\}$, то $$2\text{ re}\left( \overline{Q_j(t)}e^{z_jt}\right)=2\text{ re}\left[\frac{1}{2}(U_j(t)-iV_j(t))e^{\alpha_jt}(\cos\beta_jt+i\sin\beta_jt)\right]=e^{\alpha_jt}(U_j(t)\cos\beta_jt+ V_j(t)\sin\beta_jt).$$ Следователно $$\varphi(t)=\sum_{j=1}^q e^{\alpha_jt}(U_j(t)\cos\beta_jt+ V_j(t)\sin\beta_jt )+\sum_{j=2q+1}^pR_j(t) e^{z_jt}.$$

Оттук виждаме, че ако характеристичният полином на матрицата $A$ има комплексни корени, за да определим реалните решения на системата $\frac{dx}{dt}=Ax$ е достатъчно да вземем реалната част на комплексните решения. Разбира се, разполагайки с каноничното представяне на характеристичния полином и с размерностите на собствените подпространства на $A$ (разглеждана като матрица с комплексни елементи), бихме могли да търсим директно реалните решения във вида $\varphi(t)=\sum_{j=1}^q e^{\alpha_jt}(U_j(t)\cos\beta_jt+ V_j(t)\sin\beta_jt )+\sum_{j=2q+1}^pR_j(t) e^{z_jt}$, където $U_j,V_j$ и $R_j$ са векторни полиноми с $\deg U_j=\deg V_j=R_j=k_j-g_j$, всеки от които се определя с точност до $k_j$ свободни коефициента, след заместване на $\varphi$ в системата $\frac{dx}{dt}=Ax$.

назад