Диференциални уравнения

Диференциално уравнение се нарича всяко уравнение, което определя зависимост между една неизвестна диференцуриема функция и нейните производни. Ако функцията зависи само от един аргумент, уравнението се нарича обикновено диференциално уравнение (ОДУ), ако в уравнението участва производна от ред $n$ и в него не участват производни от по-висок ред, уравнението се нарича обикновено диференциално уравнение от ред $n$. Ако неизвестната функция зависи от $k$ аргумента и в уравнението участва поне една от нейните частни производни, уравнението се нарича частно диференциално уравнение. Ако в уравнението участват частни производни на неизвестната функция от ред $n$ и не участват частни производни на функцията от по-висок ред, уравнението се нарича частно диференциално уравнение от ред $n$. В настоящият текст се изучават само обикновени диференциални уравнения.

Най-простото дифернециално уравнение е уравнението $y’=f$, където $f$ е дадена непрекъсната функция в даден интервал. Намирането на решенията на това уравнение е основния предмет на интегралното смятане. Съществуването на решения на това уравнение следва от теоремата на Нютон-Лайбниц, а описанието на всички решения – от основната теорема на интегралното смятане. Наистина, от първата теорема имаме, че функцията $x\mapsto y(x)=\int_{a}^xf(t)dt$, където $a$ е произволна фиксирана точка от дефиниционният интервал на $f$ удовлетворява уравнението, а от втората, че за всяко друго решение $z$ съществува константа $C$, такава че $z(x)=\int_{a}^xf(t)dt+C$.

Теорията на диференциалните уравнения има за цел да описва и моделира естествени природни явления, наблюдавани от човечеството, в различни области на познанието, с помощта на методите и средствата на математиката. Най-често става дума за физични, химични, биологични или икономически процеси, протичащи във времето при определени условия. Диференциалните уравнения служат за формулиране на природни закони до които човечеството достига, чрез различни по същност експерименти. Някои диференциални уравнения могат да служат за модел на различни по своето естество природни процеси. Например уравнението $y’=ay$, където $a\in\mathbb{R}$ може да се интерпретира по няколко начина. От физична гледна точка, неизвестната функция $y$ може да представлява температурата на даден обект, във всеки момент $x$ от някой времеви интервал, а уравнението отразява факта, че скоростта на изменение $y'(x)$ на температурата във всеки момент $x$ е пропорционална (с коефициент $a$) на температурата $y(x)$. Така при $a<0$ и условието за изменение на температурата, уравнението $y’=ay$ описва процес на изстиване. Ако е възможно да се реши уравнението, то имаме функция, която определя температурата в произволен момент от времето. От друга страна, експериментално е установено, че при процеса на радиоактивен разпад на дадено радиоактивно вещество, моментното изменение на количеството вещество, във всеки момент от времето, е пропорционално на количеството вещество в съответния момент (коефициентът на пропорционалност зависи от вида на веществото). Така този процес се моделира със същото уравнение $y’=ay$, където $y$ е количеството вещество и $a<0$ е съответния коефициент на радиоактивен разпад. От биологична гледна точка, при $a>0$, същото уравнение описва т. нар. нормално размножаване на популациите. Функцията $y$ може да представлява например количеството бактерии от даден вид в дадена среда, при наличие на достатъчно хранителни вещества. От геометрична гледна точка, уравнението $y’=ay$ изразява факта, че наклона на допирателната права във всяка точка от графиката на функцията $y$ е пропорционален на стойността на функцията в абсцисата на тази точка. От чисто математическа гледна точка, уравнението $y’=ay$ представлява едно конкретно съотношение между функцията $y$ и нейната производна $y’$. В дадения случай, ние можем да намерим функция $y$, която удовлетворява съотношението $y’=ay$, с други думи, да намерим решение на това уравнение. Такава е например функцията $x\mapsto y(x)=e^{ax}$. Лесно можем да се убедим (с помощта на основната теорема на интегралното смятане), че всички функции $y$, за които $y’=ay$ имат вида $y(x)=Ae^{ax}$, където $A$ е произволна константа, т. е. това са всички решения на уравнението.

Не винаги е възможно (дори в твърде малко случаи е възможно) да се намират решенията на диференциалните уравнения в явен вид. В тези случаи свойствата на решенията се налага да бъдат извличани от самите уравнения. Въпросите свързани с разрешимостта на диференциалните уравненя са предмет на отделна доволно дълбока теория, която в настоящия курс не се обсъжда. Ще бъдат разгледани само основните методи за решаване на някои добре известни класове от уравнения.

назад