Геометрична интерпретация

В настоящата тема ще свържем геометричната интерпретация на производната на една функция с диференциалните уравнения от първи ред.
Нека са дадени област $D\subseteq\mathbb{R}^2$ и непрекъсната функция $f:D\to\mathbb{R}$. Тогава за всяка точка $(a,b)\in D$ е определена правата през точката $(a,b)$, с наклон $f(a,b)$ по отношение на хоризонталната ос, която има уравнение $$y-b=f(a,b)(x-a).$$ Следователно можем да образуваме множеството от прави $$M=\{\{(x,y)\in\mathbb{R}^2|y-b=f(a,b)(x-a)\}|(a,b)\in D\},$$ което за краткост, ще наричаме поле от направления в $D$, определено от функцията $f$. Да разгледаме задачата за определяне на диференцируема функция $\varphi:(\alpha,\beta)\to\mathbb{R}$, такава, че ако $t\in(\alpha,\beta)$ и $l_t$ е допирателната към графиката на $\varphi$ в точката $t$, то $l_t\in M$. Тъй като $l_t$ се задава с уравнение $y-\varphi(t)=\varphi'(t)(x-t)$, от определението на $M$ виждаме, че $l_t\in M$, тогава и само тогава, когато $(t,\varphi(t))\in D$ и $\varphi'(t)=f(t,\varphi(t))$. Така, ако е дадено поле от направления в $D$, определено от функцията $f:D\to\mathbb{R}$, то задачата за определяне на функция $\varphi$, за която допирателната във всяка точка принадлежи на полето от направления, води до задачата за определяне на функция $\varphi:(\alpha,\beta)\to\mathbb{R}$, такава че, $(t,\varphi(t))\in D$ и $\varphi'(t)=f(t,\varphi(t))$ за всяко $t\in(\alpha,\beta)$. Функцията $\varphi$ се нарича интегрална крива на полето от направления определено от $f$, или решение на диференциалното уравнение $y’=f(x,y)$. Лесно можем да се убедим, че е вярно и обратното, т. е. ако е дадено уравнението $y’=f(x,y)$ и $\varphi:(\alpha,\beta)\to\mathbb{R}$ е негово решение, т. е. $\varphi$ е диференцируема в $(\alpha,\beta)$, $(t,\varphi(t))\in D$ и $\varphi'(t)=f(t,\varphi(t))$, за всяко $t\in(\alpha,\beta)$, то допирателната $l_t$ към графиката на $\varphi$ във всяка точка $t\in(\alpha,\beta)$ принадлежи на полето от направления, определено от функцията $f$.

назад