В настоящата тема отново ще разглеждаме едновременно редици от реални и комплексни числа и напомняме, че $\mathbb{F}$ означава кое да е от полетата $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$. Нека $a:\mathbb{N}\to\mathbb{F}$ и $b:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ са дадени редици, като $b_n<b_{n+1}$ за всички $n\in\mathbb{N}$ (т. е. $b$ е монотонно растяща редица от естествени числа). Редицата $c=a\circ b$ се нарича подредица на редицата $a$, т. е. подредица на дадена редица се определя от произволна монотонно растяща редица от естествени числа. Казваме, че $\xi\in\mathbb{F}$ е точка на сгъстяване на редицата $a:\mathbb{N}\to\mathbb{F}$, ако за всяко $\varepsilon>0$ и всяко $k\in\mathbb{N}$, съществува естествено число $n>k$, такова че $|a_n-\xi|<\varepsilon$. Казваме, че $\infty$ е точка на сгъстяване на редицата $a:\mathbb{N}\to\mathbb{F}$, ако за всяко $\varepsilon>0$ и всяко $k\in\mathbb{N}$, съществува естествено число $n>k$, такова че $|a_n|\geq\varepsilon$. Забележка. Да обърнем внимание, че ние не сме дали конкретна дефиниция на символа $\infty$. В предните параграфи този символ се появи във връзка с едно конкретно свойство, което някои редици притежават, а именно, “За всяко $\varepsilon>0$ съществува $m\in\mathbb{N}$, такова че за всички $n>m$ е вярно $|a_n|\geq\varepsilon$”. Редиците с това свойство нарекохме редици, които клонят към безкрайност и казахме, че ако една редица $a:\mathbb{N}\to\mathbb{F}$ притежава това свойство, ще пишем $a_n\to\infty$. Сега казваме така: За редиците, които имат свойството “за всяко $\varepsilon>0$ и всяко $m\in\mathbb{N}$, съществува естествено число $n>m$, такова че $|a_n|\geq\varepsilon$” (това са всъщност неограничените редици) ще казваме че “$\infty$ е точка на сгъстяване”, т. е. $\infty$ е само един символ, който ни позволява да формулираме определения и твърдения по-удобно, на по удобен език и по-кратко, и зад него винаги стои някакво точно дефинирано свойство.

Упражнения

1. Покажете, че всяка подредица на сходяща редица е също сходяща и има същата граница.
2. Покажете, че границата на всяка сходяща редица е точка на сгъстяване за редицата.
3. Дайте примери на редици с 2, 3, $n$ и безбройно много точки на сгъстяване.
4. Покажете, че $a\in\mathbb{F}$ е точка на сгъстяване за дадена редица, тогава и само тогава, когато съществува сходящa подредица на дадената редица с граница $a$. Забележка. Оттук виждаме, че точките на сгъстяване на една редица са граници на нейни сходящи подредици. С други думи, условието някое число да бъде точка на сгъстяване за дадена редица е еквивалентно със съществуването на сходяща подредица, която клони към това число. Това също така ни дава още едно определение на понятието точка на сгъстяване на редица, еквивалентно на това, което дадохме по-горе.
5. Покажете, че $\infty$ е точка на сгъстяване за дадена редица, тогава и само тогава, когато тя е неограничена.
6. Покажете, че $\infty$ е точка на сгъстяване за дадена редица, тогава и само тогава, съществува подредица на дадената редица, която клони към $\infty$.
7. (теорема на Вайерщрас за ограничени редици). Покажете, че всяка ограничена редица $a:\mathbb{N}\to\mathbb{F}$ има точка на сгъстяване. Забележка. Предвид 4, теоремата на Вайерщрас допуска и такава формулировка: “Всяка ограничена редица има сходяща подредица”. Вземайки предвид твърденията от 5 и 6, теоремата на Вайерщрас може да се формулира за произволни редици така: “Всяка редица има точка на сгъстяване – крайна, ако редицата е ограничена и безкрайна, ако редицата е неограничена.” Да отбележим още, че нищо не се твърди за единствеността на точката на сгъстяване. Теоремата на Вайерщрас гарантира, че за една ограничена редица със сигурност съществува крайна точка на сгъстяване, но тя може да не е единствена. Също така, една неограничена редица, освен точката $\infty$, може да има и крайни точки на сгъстяване. Затова е удобно да гледаме на точките на сгъстяване на една редица, като клонящи към число или безкрайност подредици на дадената редица. Забележка. В някои текстове фразата “$\infty$ е точка на сгъстяване” за дадена редица се мотивира по следния начин: Доказва се, че за всяка неограничена редица съществува подредица, която клони към безкрайност (след като са дефинирани понятията неограниченост, подредица и клонене към безкрайност). Това свойство на неограничените редици много прилича на свойството на ограничените редици, че за всяка ограничена редица (според теоремата на Вайерщрас) съществува сходяща към някакво число подредица на дадената редица, и това число се нарича “точка на сгъстяване” на редицата. По същата аналогия, тъй като всяка неограничена редица има подредица, която клони към безкрайност, най-удобно е да кажем, че “$\infty$ е точка на сгъстяване” за такава редица. Упътване. Най-напред да се докаже твърдението за реални редици, като се построи редица от вложени интервали, всеки от които съдържа безбройно много стойности на редицата. Да се приложи теоремата на Кантор и да се покаже, че сечението на тези интервали е точка на сгъстяване на редицата. За целта да се установи, че във всяка околност на точката на сгъстяване се съдържа някой интервал от редицата вложени интервали. По-нататък, ако $(z_{n})_{n=1}^{\infty}\subset\mathbb{C}$ е ограничена редица и $z_n=x_n+iy_n$, където $x_n, y_n\in\mathbb{R}$ за всички $n\in\mathbb{N}$, то поради неравенствата $|x_n|\leq|z_n|$ и $|y_n|\leq|z_n|$, ограничени са и реалните редици $(x_{n})_{n=1}^{\infty}$ и $(y_{n})_{n=1}^{\infty}$. Тогава, според вече доказаното твърдение за реални редици, $(x_{n})_{n=1}^{\infty}$ има точка на сгъстяване, т. е. сходяща подредица $(x_{n_k})_{k=1}^{\infty}$. За редицата $(y_{n_k})_{k=1}^{\infty}$, знаем само, че е ограничена, (тъй като тя е подредица на ограничената редица $(y_{n})_{n=1}^{\infty}$), така че не можем да твърдим, че $(z_{n_k})_{k=1}^{\infty}$ е сходяща подредица на $(z_{n})_{n=1}^{\infty}$. Обаче, според доказаното твърдение за реални редици, щом $(y_{n_k})_{k=1}^{\infty}$ е ограничена, тя има сходяща подредица $(y_{n_{k_p}})_{p=1}^{\infty}$. Но тогава според 1, редицата $(x_{n_{k_p}})_{p=1}^{\infty}$ е сходяща, тъй като тя е подредица на сходящата редица $(x_{n_k})_{k=1}^{\infty}$. Оттук $(z_{n_{k_p}})_{p=1}^{\infty}$ е сходяща подредица на $(z_{n})_{n=1}^{\infty}$.
8. Покажете, че една редица е сходяща тогава и само тогава, когато е ограничена и има единствена точка на сгъстяване. Упътване. Ако една редица е сходяща, то тя е ограничена и според 2 нейната граница е точка на сгъстяване. Ако допуснем, че редицата има и друга точка на сгъстяване (различна от границата), то според 4, съществува сходяща подредица, която клони към тази точка, а това е противоречие с 1. Обратно, ако една редица е ограничена и има единствена точка на сгъстяване, ако допуснем, че тя не е сходяща към точката на сгъстяване, получаваме че тя има подредица, която има друга точка на сгъстяване, което е противоречие с единствеността на точката на сгъстяване. Забележка. Изискването за ограниченост е съществено, тъй като без него твърдението не е вярно. Например редицата от естествените числа.

назад