Комплексно число се нарича наредена двойка реални числа, т. е. всеки елемент на $\mathbb{R}^2$. Сума и произведение на две комплексни числа се определят с $(a,b)+(b,d)=(a+c,b+d)$, $(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd, ad+bc)$.
- Проверете, че по отношение на горните операции $\mathbb{R}^2$ е поле. Това поле се означава с $\mathbb{C}$.
- Проверете, че $(0,1)^2=(-1,0)$ и $(0,b)=(0,1)(b,0)$. Тогава $(a,b)=(a,0)+(0,1)\cdot(b,0)$.
- В $\mathbb{C}$ се въвежда още една операция, която се нарича комплексно спрягане: $\overline{(a,b)}=(a,-b)$.
- Проверете, че $\overline{(a,b)}=(a,b)$ тогава и само тогава, когато $b=0$, и че множеството $M=\{(a,0)\in\mathbb{R}^2|a\in\mathbb{R}\}$ е поле. Проверете, че изображението $\mathbb{R}\ni a\mapsto (a,0)\in M$ е изоморфизъм на полета. Забележка. Оттук виждаме, че можем да не различаваме елементите на $\mathbb{R}$ и $M\subseteq\mathbb{C}$. Тогава ако дефинираме $i=(0,1)$, то $i^2=-1$, и всяко комплексно число $(a,b)$ се записва във вида $a+ib$, където $a,b\in \mathbb{R}$. Също така, $\overline{a+ib}=a-ib$.
- Ако $z=a+ib$, където $a,b\in \mathbb{R}$, числата $a,b$ се наричат съответно реална и имагинерна част на $z$ и се означават с $\text{re } z$ и $\text{im }z$ съответно. Казваме, че $z\in\mathbb{C}$ е записано в алгебричен вид, ако $z=\text{re } z+i\text{im } z$. Проверете, че $\text{re } z=\frac{z+\overline{z}}{2}$ и $\text{im } z=\frac{z-\overline{z}}{2i}$.
- Запишете в алгебричен вид комплексните числа $(2-i)i, \quad \frac{1}{1-i}, \quad$$ \frac{1+i}{1-i\sqrt{3}},\quad \frac{1-3i}{1+3i}-\frac{1+3i}{1-3i}, \quad$$ \frac{(1+2i)^2-(1-i)^3}{(3+2i)^3-(2+i)^3},\quad \left(\frac{i^{35}+2}{i^{19}+1}\right)^2, \quad$$\frac{\sqrt{1+x^2}+ix}{x-i\sqrt{1+x^2}}, x\in\mathbb{R}$.
- Покажете, че $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$, $\overline{zw}=\overline{z}.\overline{w}$, $z\overline{z}\geq 0$.
- Модул на комплексното число $z\in\mathbb{C}$, наричаме числото $|z|=\sqrt{z\overline{z}}\in[0,+\infty)$. Покажете, че $|z|=\sqrt{(\text{re } z)^2+(\text{im } z)^2}$, $|\overline{z}|=|z|$, $|zw|=|z||w|$, $|z+w|^2=|z|^2+2\text{re } z\overline{w}+|w|^2$, $\text{re} z\leq|z|$, $\text{im } z\leq |z|$, $|z+w|\leq|z|+|w|$.
- Решете уравненията $\overline{z}=z^3,\quad |z|-z=1-2i,\quad z^2=i$.
- Покажете, че $\mathbb{C}$ не е наредено поле. Упътване. В наредено поле квадратите са неотрицателни. Забележка. Това показва, че за разлика от реалните числа, комплексните числа не могат да се сравняват.
- Покажете, че $\{z\in\mathbb{C}||z|=1\}$ е група по отношение на умножението на комплексни числа.