Навсякъде в текста $\mathbb{F}$ означава кое да е от полетата $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$. Всяко изображение (функция) $f:\mathbb{N}\to\mathbb{F}$ се нарича редица в $\mathbb{F}$ (или редица от реални или комплексни числа). За произволно $n\in\mathbb{N}$, стойността $f(n)$ означаваме с $f_n$, a редицата $f$ с $(f_n)_{n=1}^{\infty}$. Казваме, че редицата $(f_n)_{n=1}^{\infty}$
- e ограничена, ако съществува число $M\geq 0$ такова, че $|f_n|\leq M$ за всички $n\in\mathbb{N}$.
- клони към нула (пишем $f_n\to 0$), ако за всяко реално число $\varepsilon>0$, съществува число $m\in\mathbb{N}$, такова че за всички естествени числа $n>m$ е изпълнено $|f_n|<\varepsilon$
- е сходяща, ако съществува число $a\in\mathbb{F}$, за което $f_n-a\to 0$. В този случай пишем $f_n\to a$ или $\lim f_n=a$, а числото $a$ се нарича граница на редицата.
- клони към безкрайност, (пишем $f_n\to \infty$), ако за всяко число $k\in\mathbb{N}$, съществува число $m\in\mathbb{N}$, такова че за всички $n>m$ е вярно, че $|f_n|\geq k$.
Упражнения
- Покажете, че:
а) всяка сходяща редица има единствена граница.
б) всяка сходяща редица е ограничена. - Нека $(a_n)_{n=1}^{\infty}\subset\mathbb{F}$ е дадена редица. Да се формулира отрицанието на твърдението
а) “Редицата $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ е ограничена”,
б) “Редицата $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ клони към нула”,
в) “Редицата $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ е сходяща” - Нека $(a_n)_{n=1}^{\infty}\subset\mathbb{F}$ е дадена редица. Покажете, че ако $a_n\to\infty$, то $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ е неограничена. Посочете пример, който илюстрира, че обратното не е вярно.
- Нека $(a_n)_{n=1}^{\infty}\subset\mathbb{F}$ е дадена редица. Покажете, че
а) $a_n\to 0\Leftrightarrow |a_n|\to 0$,
б) $a_n\to \infty\Leftrightarrow\frac{1}{a_n}\to 0$. - Нека $(a_n)_{n=1}^{\infty}\subset\mathbb{F}$ и $(b_n)_{n=1}^{\infty}\subset\mathbb{F}$ са сходящи редици, като $a_n\to a$, $b_n\to b$. Покажете, че
а) $a_n+b_n\to a+b$,
б) $a_nb_n\to ab$,
в) ако $b_n\neq 0$, за всички $n\in\mathbb{N}$ и $b\neq 0$, то $\frac{a_n}{b_n}\to\frac{a}{b}$. - Нека $(a_n)_{n=1}^{\infty}\subset\mathbb{F}$ е ограничена и $(b_n)_{n=1}^{\infty}\subset\mathbb{F}$ е такава, че $b_n\to\infty$. Покажете, че
а) $a_n+b_n\to\infty$,
б) ако $b_n\neq 0$, за всички $n\in\mathbb{N}$, то $\frac{a_n}{b_n}\to 0$,
Вярно ли е, че $a_nb_n\to\infty$? - Изяснете смисъла на символите $\infty-\infty$, $0.\infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$.
- Нека $(a_n)_{n=1}^{\infty}\subset\mathbb{C}$ е дадена редица и $a\in\mathbb{C}$.
Покажете, че $a_n\to a$ тогава и само тогава, когато $\text{re }a_n\to\text{re }a$ и $\text{im }a_n\to\text{im }a$. - Нека $(a_n)_{n=1}^{\infty}\subset\mathbb{F}$, $a_n\to а\in\mathbb{F}$ и $p\in\mathbb{N}$ е дадено число. Покажете, че ако $b_n=a_{n+p}$ за всички $n\in\mathbb{N}$, то $b_n\to a$.
Забележка. Това показва, че ако в една редица премахнем или добавим краен брой елементи, то нопвополучената редица е сходяща към същата граница. - Формулирайте и докажете аналог на горното твърдение за разходящи редици.
- Покажете, че ако на една сходяща редица се разместят елементите по произволен начин, то новополучената редица е сходяща към същата граница. Вярно ли е това твърдение за разходящи редици?