Нека $a\in\mathbb{F}$ е точка на сгъстяване за $U\subseteq\mathbb{F}$. Казваме, че $b\in\mathbb{F}$ е граница на функцията $f:U\to\mathbb{F}$, в точката $a$ (пишем $\lim\limits_{z\to a}f(z)=b$), ако за всяка редица $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\subset U$, за която $a_n\neq a$ за всички $n\in\mathbb{N}$ и $a_n\to a$, е вярно $f(a_n)\to b$.
Забележка. Изискването $a$ да бъде точка на сгъстяване за $U$, осигурява съществуването на редица $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\subset U$, за която $a_n\neq a$ за всички $n\in\mathbb{N}$ и $a_n\to a$.
Забележка. Очевидно е, че ако $a\in U$ не е изолирана точка (т. е. $a$ е точка на сгъстяване за $U$) и $f:U\to\mathbb{F}$ е непрекъсната в точката $a$, то $\lim\limits_{z\to a}f(z)=f(a)$. Ако $a$ е изолирана точка на $U$, то $f$ е непрекъсната в точката $a$, но понятието граница на функция в точката $a$ губи смисъл.
Забележка. В много текстове по анализ, понятието непрекъснатост се дефинира посредством понятието граница. Това не е много удобно тъй като от една страна не може да се обхване случая, когато $a$ е изолирана точка (тъй като тогава понятието граница на функция губи смисъл), а от друга страна, както ще се убедим в следващите упражнения, при практическото пресмятане на граница на функция в точка, винаги се стига до пресмятане на стойност на някоя непрекъсната функция в точката. Също така, чрез свойствата на непрекъснатите функции, ние дефинирахме голяма част от основните елементарни функции и установихме техните основни свойства.
Забележка. Горното определение важи за реални и комплексни функции на реален или комплексен аргумент. Със замяна на $a$ и $b$ със символа $\infty$, получаваме определенията за $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=b$, $\lim\limits_{z\to a}f(z)=\infty$, $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=\infty$. Когато $\mathbb{F}=\mathbb{R}$, със замяна на $a$ и $b$ в горното определение с някой от символите $+\infty,-\infty, \infty$, получаваме определения за $\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to a}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=b$, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=b$, $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$. Трябва само да помним, че $+\infty,-\infty, \infty$ не са елементи на $\mathbb{F}$, а сме формулирали какво означава една редица да клони към $+\infty,-\infty, \infty$.

Лява и дясна граница на функция в точка

Нека $a\in\mathbb{R}$ е точка на сгъстяване за $U\subseteq\mathbb{R}$. Казваме, че $b\in\mathbb{F}$ е лява (дясна) граница на функцията $f:U\to\mathbb{F}$, в точката $a$ (пишем $\lim\limits_{x\to a^{-}}f(x)=b$, ($\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)=b$)), ако за всяка редица $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\subset U$, за която $a_n<a$, ($a_n>a$) за всички $n\in\mathbb{N}$, и $a_n\to a$, е вярно че $\lim f(a_n)=b$.
Забележка. Горното определение важи само за реални или комплексни функции на реален аргумент, тъй като в него се използва наредбата на реалните числа. Със замяна на $b$ в горното определение със символа $\infty$, получаваме определения за $\lim\limits_{x\to a^{-}}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)=\infty$. При $\mathbb{F}=\mathbb{R}$, $b$ можем да заменим с $+\infty, -\infty$ и да получим определения за $\lim\limits_{x\to a^{-}}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to a^{-}}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)=-\infty$.

Упражнения

1. Да се формулират определения за $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=b$, $\lim\limits_{z\to a}f(z)=\infty$, $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=\infty$, $\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to a}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=b$, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=b$, $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to a^{-}}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to a^{-}}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to a^{-}}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)=-\infty$.
2. Нека $U\subseteq\mathbb{F}$, $f:U\to\mathbb{F}$ и $a\in\mathbb{F}$ е точка на сгъстяване за $U$. Покажете, че $\lim\limits_{z\to a}f(z)=b$, тогава и само тогава, когато за всяко реално число $\varepsilon>0$, съществува реално число $\delta>0$, такова че за всички $z\in U$, за които $0<|z-a|<\delta$, е вярно $|f(z)-b|<\varepsilon$. Упътване. Следва директно от еквивалентността на дефинициите на Коши и Хайне за непрекъснати функции. Доказателсвото върви дословно, както еквивалентността на дефинициите на Коши и Хайне за непрекъснатост, с тази разлика, че $f(a)$ трябва да се замени с $b$.
3. Нека $U\subseteq\mathbb{F}$, $f:U\to\mathbb{F}$ и $a\in\mathbb{F}$ е точка на сгъстяване за $U$. Покажете, че $\lim\limits_{z\to a}f(z)=\infty$, тогава и само тогава, когато за всяко реално число $\varepsilon>0$, съществува реално число $\delta>0$, такова че за всички $z\in U$, за които $0<|z-a|<\delta$, е вярно че $|f(z)|>\varepsilon$.
4. Нека $U\subseteq\mathbb{F}$, $f:U\to\mathbb{F}$ и $\infty$ е точка на сгъстяване за $U$. Покажете, че $\lim\limits_{z\to \infty}f(z)=b$, тогава и само тогава, когато за всяко реално число $\varepsilon>0$, съществува реално число $\delta>0$, такова че за всички $z\in U$, за които $|z|>\delta$, е вярно $|f(z)-b|<\varepsilon$.
5. Нека $U\subseteq\mathbb{F}$, $f:U\to\mathbb{F}$ и $\infty$ е точка на сгъстяване за $U$. Покажете, че $\lim\limits_{z\to \infty}f(z)=\infty$, тогава и само тогава, когато за всяко реално число $\varepsilon>0$, съществува реално число $\delta>0$, такова че за всички $z\in U$, за които $|z|>\delta$, е вярно че $|f(z)|>\varepsilon$. Забележка. От тези твърдения получаваме още един еквиваленетен начин да дефинираме понятието граница на функция в точка. В литературата тези твърдения се формулират като дефиниции на Коши, а определенията, които дадохме тук – като дефиниции на Хайне. Ние дефинирахме понятието граница на функция посредством определението на Хайне по две причини. От една страна предварително сме развили апарата на числовите редици и по този начин доказателствата на твърденията за граници на функции се свеждат до вече доказани твърдения за редици, а от друга страна, определенията на всички разновидности на понятието граница на функция могат да се свият в едно, (което не е така при дефинициите на Коши). В някои ситуации е по-удобно да се използват дефиниците на Коши, а в други – тези на Хайне, затова в зависимост от ситуацията ще прилагаме и едните и другите дефиниции.
6. Да се формулират и докажат твърдения аналогични на горните четири за $\lim\limits_{x\to a}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to a}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=b$, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=b$, $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to a^{-}}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to a^{-}}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)=+\infty$, $\lim\limits_{x\to a^{-}}f(x)=-\infty$, $\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)=-\infty$.
7. Нека $a$ е точка на сгъстяване за $U\subseteq\mathbb{F}$ ($a\in \mathbb{F}$ или $a=\infty$), $f:U\to\mathbb{F}$, $g:U\to\mathbb{F}$, са дадени функции, и съществуват $\lim\limits_{z\to a}f(z)$ и $\lim\limits_{z\to a}g(z)$. Покажете, че: а) $\lim\limits_{z\to a}(f+g)(z)=\lim\limits_{z\to a}f(z)+\lim\limits_{z\to a}g(z)$, б) $\lim\limits_{z\to a}(f\cdot g)(z)=\lim\limits_{z\to a}f(z)\cdot \lim\limits_{z\to a}g(z)$, в) $\lim\limits_{z\to a}\left(\frac{f}{g}\right)(z)=\frac{\lim\limits_{z\to a}f(z)}{\lim\limits_{z\to a}g(z)}, \lim\limits_{z\to a}g(z)\neq 0$. Упътване. Следва директно от определението за граница на функция в точка и от съответните свойства за числови редици.
8. Да се формулират и докажат аналогични твърдения на тези от горната задача за лява и дясна граница на фунцкия в точка.
9. Нека $a\in \mathbb{R}$ е точка на сгъстяване за $U\subseteq\mathbb{R}$, и $f:U\to\mathbb{F}$ е дадена функция. Покажете, че $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$, тогава и само тогава, когато $\lim\limits_{x\to a^{-}}f(x)=\lim\limits_{x\to a^{+}}f(x)=b$. Забележка. Това показва, че една функция на реален аргумент има граница в точка, тогава и само тогава, когато тя има лява и дясна граница в точката и техните стойности съвпадат. Разбира се възможно е една такава функция да няма граница в точката, но да има лява и (или) дясна граница в точката.
10. Нека $U, V\subseteq\mathbb{F}$, $a$ е точка на сгъстяване за $U$, $b$ е точка на сгъстяване за $V$, а $g:U\to V$ и $f:V\to\mathbb{F}$, са дадени функции. Нека $\lim\limits_{z\to b}f(z)=c$, $\lim\limits_{z\to a}g(z)=b$, $a$ е точка на сгъстяване за дефиниционното множество на $f\circ g$ и съществува $\delta>0$, такова че $g(z)\neq b$ за всички $z\in U$, за които $0<|z-a|<\delta$. Покажете, че $\lim\limits_{z\to a}(f\circ g)(z)=c$. Решение. Трябва да покажем, че ако $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\subset U\cap f^{-1}(V)$ е произволна редица, за която $a_n\to a$ и $a_n\neq a$, за всички $n\in\mathbb{N}$, то $(f\circ g)(a_n)\to c$. Съществуването на редица $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ с горните свойства следва от предположението, че $a$ е точка на сгъстяване на $U\cap f^{-1}(V)$ (дефиниционното множество на $f\circ g$). От $\lim\limits_{z\to a}g(z)=b$, имаме че $g(a_n)\to b$, а от $\lim\limits_{z\to b}f(z)=c$, имаме, че за всяка редица $\{b_n\}_{n=1}^{\infty}\subset V$, за която $b_n\to b$ и $b_n\neq b$, за всички $n\in\mathbb{N}$, е вярно $f(b_n)\to c$. В частност, за редицата $\{g(a_n)\}_{n=1}^{\infty}\subset V$ имаме $g(a_n)\to b$ и $g(a_n)\neq b$, от известно място нататък (по предположение), и следователно $f(g(a_n))\to c$. Тогава $(f\circ g)(a_n)=f(g(a_n))\to c$. Забележка. Твърдението от това упражнение е известно като теорема за граница на съставна функция или като теорема за смяна на променливата в граница на функция и играе важна роля при пресмятането на конкретни граници. Символите $b$ и $c$ могат да бъдат както елементи на $\mathbb{F}$, така и $\infty$, т. е. можем да имаме $b\in\mathbb{F}$ и $c=\infty$, $b=\infty$ и $c\in\mathbb{F}$, също така $b,c\in\mathbb{F}$, или $b=\infty$ и $c=\infty$. При $\mathbb{F}=\mathbb{R}$, $b$ и $c$ могат да бъдат заменени с кой да е от символите $+\infty$, $-\infty$. При това доказателството, което дадохме покрива едновременно всички тези случаи. Ако се изхожда от дефинициите на Коши, трябва да се доказва търдението във всеки отделен случай. Да отбележим още, че твърдението е валидно и в случаите когато $U\subseteq\mathbb{R}$ и $V\subseteq\mathbb{C}$ или $U\subseteq\mathbb{C}$ и $V\subseteq\mathbb{R}$. Забележка. Предположенията, че $a$ е точка на сгъстяване за дефиниционното множество на $f\circ g$ и за съществуване на число $\delta>0$, такова че $g(z)\neq b$ за всички $z\in U$ за които $0<|z-a|<\delta$ (т. е $a$ има пробита околност в която $g\neq b$) са съществени. Без изпълнението на някое от тях твърдението не е вярно. Например, ако $f(x)=\sqrt{x}$ и $g(x)=-x^2$, то $\lim\limits_{x\to 0}f(x)=\lim\limits_{x\to 0}g(x)=0$, но $\lim\limits_{x\to 0}(f\circ g)(x)$ няма смисъл, тъй като $0$ не е точка на сгъстяване за дефиниционното множество на $f\circ g$. Като втори пример, ако $$f(z)=\begin{cases}1, z\neq b\\ 0 ,z=b\end{cases}$$ и $g(z)=b$ за всички $z\in\mathbb{C}$, то $\lim\limits_{z\to b}f(z)=1$, $\lim\limits_{z\to a}g(z)=b$, но $\lim\limits_{z\to a}(f\circ g)(z)=\lim\limits_{z\to a}f(b)=0$.
11. Нека $U\subseteq\mathbb{F}$, $a\in\mathbb{F}$ е точка на сгъстяване за $U$, a $f:U\to\mathbb{F}$ е дадена функция. Покажете, че $\lim\limits_{z\to a}f(z)=b$, тогава и само тогава, когато за всяко реално число $\varepsilon>0$, съществува реално число $\delta>0$ и непрекъсната в точката $a$ функция $\varphi:B_{\delta}(a)\to\mathbb{F}$, такава че $\varphi(z)=f(z)$, за всички $z\in U\cap B_{\delta}(a)\setminus\{a\}$ и $\varphi(a)=b$. Забележка. Това показва, че понятието граница на функция в точка може да се дефинира посредством твърдението от горната задача. Това обаче не е много удобно, тъй като тогава дефинициите на различните типове граници силно се различават една от друга. (Съставете например определение за $\lim\limits_{z\to \infty}f(z)=b$). Решение.Ако $a\in U$ твърдението е доказано с $\varphi=f$. Нека $a\notin U$ и $\lim\limits_{z\to a}f(z)=b$, тогава за всяко $\varepsilon>0$, съществува $\delta>0$ такова, че за всички $z\in U\cap B_{\delta}(a)$ е вярно, че $f(z)\in B_{\varepsilon}(b)$. Разглеждаме функцията $\varphi:B_{\delta}(a)\to\mathbb{F}$, зададена с $$\varphi(z)=\begin{cases}f(z),z\in U\cap B_{\delta}(a) \\ b, z\in B_{\delta}(a)\setminus U\end{cases}.$$ Ако $z\in U\cap B_\delta(a)$, то $|\varphi(z)-\varphi(a)|=|f(z)-b|<\varepsilon$, a ако $z\in B_{\delta}(a)\setminus U$, то $|\varphi(z)-\varphi(a)|=0<\varepsilon$. Тогава за всички $z\in B_{\delta}(a)$ имаме $f(z)\in B_{\varepsilon}(b)$, т. е. $\varphi$ непрекъсната в точката $a$. Обратно, нека съществуват число $\delta_1>0$ и непрекъсната в точката $a$ функция $\varphi:B_{\delta_1}(a)\to\mathbb{F}$, такава че $\varphi(z)=f(z)$, за всички $z\in U\cap B_{\delta_1}(a)$ и $\varphi(a)=b$. Тъй като $\varphi$ е непрекъсната в точката $a$, за всяко $\varepsilon>0$, съществува $\delta_2>0$, такова че за всички $z\in B_{\delta_1}(a)\cap B_{\delta_2}(a)$ е вярно че $|\varphi(z)-\varphi(a)|<\varepsilon$. Нека $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$. Тогава за всички $z\in U\cap B_{\delta}(a)$ е вярно $|\varphi(z)-\varphi(a)|=|f(z)-b|<\varepsilon$, т. е. $f(z)\in B_{\varepsilon}(b)$ или с други думи $\lim\limits_{z\to a}f(z)=b$.
12. Покажете, че ако $f:[a,+\infty)\to\mathbb{F}$ е непрекъсната и съществува $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)$, то $f$ е равномерно непрекъсната в $[a,+\infty)$.
13. Покажете, че ако $f:(a,b)\to\mathbb{F}$ е непрекъсната и съществуват $\lim\limits_{x\to a+}f(x)$, и $\lim\limits_{x\to b-}f(x)$ то $f$ е равномерно непрекъсната в $(a,b)$.

назад