Асимптотични съотношения между функции

Нека $U\subseteq\mathbb{F}$ и $a\in\mathbb{F}\cup\{\infty\}$ е точка на сгъстяване на $U$. Казваме, че функцията $f:U\to\mathbb{F}$ е безкрайно малка в точката $a$, ако $\lim\limits_{z\to a}f(z)=0$. Ако $f:U\to\mathbb{F}$ и $g:U\to\mathbb{F}$ са безкрайно малки функции, в точката $a$, като $g(z)\neq 0$ около $a$, казваме, че функцията $f$ е асимптотично еквивалентна на $g$ в точката $a$, ако $\lim\limits_{z\to a}\frac{f(z)}{g(z)}=1$. В този случай записваме $f(z)\sim g(z)$ при $z\to a$. Ако $f(z)\sim g(z)$ при $z\to a$, казваме още, че $f$ и $g$ клонят към $0$ с еднаква скорост, когато $z$ клони към $a$, или че имат един и същи порядък на клонене към $0$, когато $z$ клони към $a$. Ако $\lim\limits_{z\to a}\frac{f(z)}{g(z)}=0$, казваме, че $f$ клони към $0$ по-бързо от $g$, когато $z$ клони към $a$, или че $f$ има по-висок порядък на клонене към $0$ от $g$, когато $z$ клони към $a$. В този случай записваме $f(z)=o(g(z))$ при $z\to a$ (четем $f$ е о малко от $g$ около $а$). Ако частното $\frac{f(z)}{g(z)}$ е ограничено в някоя околност на $a$, т. е. съществуват числа $\delta, M>0$, такива че при $z\in U\cap B(a,\delta)$ е изпълнено $\left|\frac{f(z)}{g(z)}\right|\leq M$, записваме $f(z)=O(g(z))$ при $z\to a$ (четем $f$ е о голямо от $g$ около $а$) .

Упражнения

  1. Проверете, че ако $f, g, h$ са безкрайно малки функции, дефинирани и неанулиращи се в околност на точката $a\in\mathbb{F}\cup\{\infty\}$, то: 1) $f(z)\sim f(z)$ при $z\to a$, 2) ако $f(z)\sim g(z)$ при $z\to a$, то $g(z)\sim f(z)$ при $z\to a$, 3) ако $f(z)\sim g(z)$ при $z\to a$ и $g(z)\sim h(z)$ при $z\to a$, то $f(z)\sim h(z)$ при $z\to a$, 4) ако $f(z)\sim g(z)$ и $h(z)=o(f(z))$ при $z\to a$, то $h(z)=o(g(z))$ при $z\to a$, 5) ако $f(z)\sim g(z)$ и $h(z)=O(f(z))$ при $z\to a$, то $h(z)=O(g(z))$ при $z\to a$.
  2. Проверете, че ако $f, g, h$ са безкрайно малки функции, дефинирани в околност на точката $a\in\mathbb{F}\cup\{\infty\}$ и: a) $f(z)=o(h(z))$, $g(z)=o(h(z))$ при $z\to a$, то $f(z)+g(z)=o(h(z))$ и $f(z)g(z)=o(h(z)^2)$ при $z\to a$, б) $f(z)=O(h(z))$, $g(z)=O(h(z))$ при $z\to a$, то $f(z)+g(z)=O(h(z))$ и $f(z)g(z)=O(h(z)^2)$ при $z\to a$, в) $f(z)=o(h(z))$, $g(z)=O(h(z))$ при $z\to a$, то $f(z)+g(z)=O(h(z))$ и $f(z)g(z)=o(h(z)^2)$ при $z\to a$, г) $f(z)=o(h(z))$ при $z\to a$, $g(z)=o(f(z))$ при $z\to a$, то $g(z)=o(h(z))$ при $z\to a$, д) $f(z)=o(h(z))$ при $z\to a$, $g(z)=O(f(z))$ при $z\to a$, то $g(z)=o(h(z))$ при $z\to a$, е) $f(z)=O(h(z))$ при $z\to a$, $g(z)=o(f(z))$ при $z\to a$, то $g(z)=o(h(z))$ при $z\to a$.
  3. Проверете следните асимптотични съотношения: а) $\sin z\sim z$ при $z\to 0$, б) $\cos z\sim 1-\frac{z^2}{2}$ при $z\to 0$, в) $e^z\sim 1+z$ при $z\to 0$, г) $\text{tg }z\sim z$ при $z\to 0$, д) $(1+x)^{\alpha}\sim 1+\alpha x$ при $x\to 0$, $\alpha\in\mathbb{R}$, е) $\ln(1+x)\sim x$ при $x\to 0$.
  4. Проверете, че при $z\to 0$: а) $\sin z=z+o(z)$, б) $1-\cos z=\frac{z^2}{2}+o(z^2)$, в) $e^z-1=z+o(z)$, г) $\cosh z-1=\frac{z^2}{2}+o(z^2)$.
  5. Проверете, че при $x\to 0$: а) $\arcsin x=x+o(x)$, б) $\text{arctg }x=x+o(x)$, в) $(1+x)^{\alpha}= 1+\alpha x +o(x)$, $\alpha\in\mathbb{R}$, г) $\ln(1+x)= x+o(x)$, д) $a^x-1=x\ln a+o(x)$, $a>0$.
  6. За кои стойности на $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ е изпълнено $\sqrt{2x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\sim\alpha x^{\beta}$ а) при $x\to 0$, б) при $x\to+\infty$?

назад