В настоящата тема ще опишем йерархията при клоненето на редиците към нула или безкрайност. Нека $a:\mathbb{N}\to\mathbb{F}$ и $b:\mathbb{N}\to\mathbb{F} $ са дадени редици, за които $a_n\to 0$, $b_n\to 0$. Казваме, че редицата $(a_n)_{n=1}^{\infty}$, клони към нула по-бързо от редицата $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ (пишем $a_n=o(b_n), n\to\infty$), ако $\lim\frac{a_n}{b_n}=0$. Ако $\lim\frac{a_n}{b_n}=1$, то казваме, че редиците $(a_n)_{n=1}^{\infty}$ и $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ са асимптотично еквивалентни (клонят към нула еднакво бързо) (при което пишем $a_n\sim b_n$).
Забележка. Ако $a_n\to 0$, $b_n\to 0$ и $\lim\frac{a_n}{b_n}=c\neq 0$, то $a_n\sim \frac{1}{c}b_n$ и $c a_n\sim b_n$. Ако $\lim\frac{a_n}{b_n}=\infty$, то $\lim\frac{b_n}{a_n}=0$ и следователно $b_n=o(a_n)$.

1. Покажете, че ако $(a_n)_{n=1}^{\infty}$, $(b_n)_{n=1}^{\infty}$ и $(c_n)_{n=1}^{\infty}$ са редици в $\mathbb{F}$, то: 1) $a_n\sim a_n$, 2) ако $a_n\sim b_n$, то $b_n\sim a_n$, 3) ако $a_n\sim b_n$ и $b_n\sim c_n$, то $a_n\sim c_n$.
2. Нека $(a_n)_{n=1}^{\infty}\subset\mathbb{F}$ и $(b_n)_{n=1}^{\infty}\subset\mathbb{F}$ са редици в $\mathbb{F}$ , за които $a_n\to 0$, $b_n\to 0$. Покажете, че $a_n\sim b_n$ тогава и само тогава, когато $a_n=b_n+o(b_n)$.

назад